"Más grande" significa diferentes cosas según las circunstancias.
Una noción común de mayor y menor proviene de los conjuntos parcialmente ordenados. A conjunto parcialmente ordenado es un conjunto $X$ junto con un relación en $X$ , comúnmente denotado por el símbolo ' $<$ '. Si $x, y \in X$ el símbolo $x < y$ se lee como " $x$ es menor que $y$ o " $y$ es mayor que $x$ ." La relación debe satisfacer las siguientes condiciones:
1 . Si $x, y, z$ están en $X$ con $x < y$ y $y < z$ entonces $x < z$ .
2 . Dejemos que " $x \leq y$ " significa que $x < y$ o $x = y$ . Entonces, si $x \leq y$ y $y \leq x$ entonces $x = y$ .
Nótese que NO estamos diciendo que dos elementos cualesquiera de $X$ pueden ser necesariamente comparados. Un conjunto parcialmente ordenado con esta propiedad se llama totalmente ordenado .
Así, un conjunto parcialmente ordenado da una noción de elementos mayores o menores que otros. He aquí algunos ejemplos:
1 . Sea $X$ sea el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto determinado $S$ . Para $A, B \in X$ , set $A \leq B$ si y sólo si $A \subseteq B$ .
Es en este sentido que el conjunto de los números Impares es más pequeño que el conjunto de los números naturales.
2 . Sea $X$ sea el mismo conjunto que en (1), pero esta vez, ponga $A \leq B$ si y sólo si $A \supseteq B$ .
Así que aquí, la noción de más grande no se ajusta a la noción habitual.
3 . Sea $X = \mathbb{R}$ y para $x, y \in X$ , set $x < y$ para ser lo habitual.
Esto es una ordenación total.
4 . Sea $X = \mathbb{R}$ pero esta vez se ha fijado $x < y$ si y sólo si $|x| < |y|$ .
En realidad no se trata de un conjunto parcialmente ordenado, ya que $-5$ y $5$ son "menores o iguales entre sí", pero no son iguales. Sin embargo, podría decirse que da una buena noción del tamaño: pensamos en $-10$ como más grande que $5$ en este sentido.
Otra noción común de tamaño en matemáticas, específicamente el tamaño de los conjuntos, es cardinalidad . Esto es lo que mencionaste primero: se dice que la cardinalidad de un conjunto $X$ es menor o igual que la de un conjunto $Y$ si existe un mapa inyectivo de $X$ en $Y$ .
Si la cardinalidad de $X$ es menor o igual que el de $Y$ , y viceversa, entonces se puede demostrar (bajo algunos supuestos razonables) que existe un mapa biyectivo $X \rightarrow Y$ . Se dice en este caso que $X$ y $Y$ tienen la misma cardinalidad . Es en este sentido que el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números Impares tienen el mismo tamaño.
Además, se puede demostrar que para cualquier establece $X$ y $Y$ Una de sus cardinalidades es menor o igual que la de la otra. Así que podemos decir que la cardinalidad es un pedido total pero no lo decimos para evitar incoherencias lógicas. Un ordenamiento parcial se define sobre los elementos de un conjunto dado, y no consideramos que todos los conjuntos sean miembros de un conjunto dado.
