Ecuación funcional: $f(x)=x+\dfrac{f(2x)}{f(3x)}$

Question

Considere la ecuación funcional:

$$f(x)=x+\dfrac{f(2x)}{f(3x)}$$

donde $x>0$, junto con la condición de contorno $f(x)=x+O(1)$ $x\to\infty$ (es decir, $f(x)-x$ es limitado). Además supongamos que $f(x)$ es continua.

¿Cuál es el valor de $f(1)$?

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Un enfoque es expandir $f(x)$ como una de la serie de Laurent de la forma $$ f(x)=x+a_0 + \frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+\cdots $$ Set $f_n(x)=x+a_0+\cdots+a_n x^{-n}$, y observar que $f_{n+1}(x)=x+\frac{f_n(2x)}{f_n(3x)}+o(x^{-n-1})$. Esto le permite a uno de forma recursiva calcular los coeficientes de las Laurent serie muy fácilmente; el uso de esta técnica que he obtenido $$ f(x)=x+\frac{2}{3}+\frac{2}{27x}-\frac{7}{729x^2}+\frac{227}{236196 x^3}-\frac{34925}{459165024 x^4}+o(x^{-4}). $$ Mientras que yo era incapaz de discernir un patrón para estos coeficientes, parece que el $3$-ádico de valoración de $a_n$$n(n+1)/2$.

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Fuente: Esta pregunta es una variante de una pregunta planteada por Jacob Lanza en el mathriddles subreddit que implican un continuo fracción. Él preguntó si $f(1)<\sqrt{3}$. (Uno puede mostrar que, de hecho,$f(1)\approx \sqrt{3}-2\cdot 10^{-5}$.)

Answer 1

Escribir $f(x):=x+g(1/x)$, y deje $y:={1\over x}$. El dado funcional de la ecuación, entonces se transforma en $$g(y)={2+y\>g(y/2)\over3+y\> g(y/3)}\ ,$$ o $$g(y)\bigl(3+y\>g(y/3)\bigr)-\bigl(2+y\>g(y/2)\bigr)=0\ .\tag{1}$$ Conectar el "Ansatz" $g(y):=\sum_{k\geq0} a_ky^k$ a $(1)$ conduce a la recursividad $$a_0={2\over3},\qquad a_r={1\over3}\left({a_{r-1}\over 2^{r-1}}-\sum_{k=0}^{r-1}{a_k\>a_{r-1-k}\over 3^k}\right)\quad(r\geq1)\ ,\tag{2}$$ que produce exactamente a los números obtenidos. Con el fin de comprobar que esto no es sólo formal, tenemos que proporcionar una estimación de la $a_k$. Yo reclamo que $$|a_r|\leq{4\over5}\cdot2^{-r}\qquad(r\geq0)\ .\tag{3}$$ Esto puede ser comprobado numéricamente para $r\leq3$. Al $r\geq4$ $(2)$ obtener $$|a_r|\leq{1\over3}\left({1\over 2^{r-1}}\cdot{4\over5}\>2^{-(r-1)}\>+{16\over25}\>2^{-(r-1)}\sum_{k=0}^\infty{1\over 3^k}\right)\leq{1\over3}\left({1\over2^{r-2}}+{8\over5}\cdot{3\over2}\right){4\over5}\>2^{-r}\ .$$ Si $r\geq4$ $${1\over3}\left({1\over2^{r-2}}+{8\over5}\cdot{3\over2}\right)\leq{1\over3}\left({1\over4}+{8\over5}\cdot{3\over2}\right)={53\over60}<1\ ,$$ de modo que $(3)$ sigue por inducción. La estimación de $(3)$ muestra que $g$ es analítica, al menos en el disco $|y|<2$, por lo que podemos utilizar la obtenida de expansión para calcular $f(1)=1+g(1)$ aproximadamente. Se obtiene $f(1)-\sqrt{3}\approx-0.000023664$, como se indica en el OP.