Supongamos que un polinomio $p(x,y)$ definidas en $\mathbb{R}^2$ es idénticamente cero en alguna bola abierta (en la topología euclidiana). ¿Cómo uno va sobre demostrando que este es el polinomio cero?
Respuestas
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Matt Dawdy
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Más fuertes, pero aún razonablemente fácil de probar, declaración desprende el Nullstellensatz combinatoria. Es realmente suficiente requerir que $p$ es idénticamente cero en un enrejado con suficiente cantidad de puntos.
Oli
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Para hacer la notación más simple, vamos a $(a,b)$ ser el centro de la bola abierta. Deje $g(x,y)=f(a+x,b+y)$. Entonces el polinomio $g$ es idéntica $0$ en un abrir balón que contiene el origen. Nos muestran que $g(x,y)$ es idéntica $0$.
Considere la posibilidad de cualquier línea a través del origen. Vamos a mostrar que el $g(x,y)=0$ en todos los puntos de la línea. Las líneas están dadas por $y=kx$ donde $k$ es una constante, y, que se olvida fácilmente, $x=0$.
Deje $P(t)=g(t,kt)$ (para la línea de $x=0$, vamos a $P(t)=g(0,t)$).
A continuación, $P(t)$ es un polinomio, y es idéntica $0$ en un intervalo. En particular, $P(t)=0$ para infinidad de $t$. Por lo tanto $P(t)$ debe ser idéntica $0$ (un no-cero del polinomio tiene sólo un número finito de raíces).
Llegamos a la conclusión de que $g$ es idéntica $0$ en cada línea a través del origen, y por lo tanto en todas partes.
Tenga en cuenta que esencialmente el mismo argumento funciona para polinomios en $n$ variables.
WLOG Supongamos que el centro de la bola es el origen y la escritura
$$ p (x, y) = \sum _ {i, j = 0} ^ ma_ {i, j} x ^ iy ^ j $$
Enchufe en $x=y=0$. Encontrará la que $a_{0,0}=0$. Tomar el derivado parcial con respecto a los $x$ y fijar $x=y=0$. Encontrará la que $a_{1,0}=0$. Debe ser capaz de terminarlo de aquí por continuando del mismo modo...
David HAust
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Esto sigue puramente algebraico por inducción en grado con el hecho de que un polinomio no tiene más raíces que su grado sobre un dominio - ver mi anterior post.
Lissome
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Escribir $p(x,y) = \sum_{i=0}^n q_i(x)y^i$ donde $q_i(x)$ son polinomios en $x$.
Elegir un punto de $(x_0,y_0)$ interior $U$ donde $U$ es la bola abierta. Entonces existe un $r>0$, de modo que $B_r(x_0,y_0) \subset U$.
Elija cualquiera de los $x_1 \in (x_0-r,x_0+r)$, y eligió a algunos $\delta>0$, de modo que $\{x_1\} \times (y_0-\delta ,y_0+\delta) \subset U$.
A continuación, $p(x_1,y)= \sum_{i=0}^n q_i(x_1)y^i$ es un polinomio en a $y$ con coeficientes constantes $q_i(x_1)$ que es idénticamente cero en el intervalo de $(y_0-\delta, y_0+\delta)$. Por lo tanto $p(x_1,y)$ es el polinomio cero.
Por lo tanto $q_i(x_1)=0$. Pero desde $x_1$ fue arbitraria en $(x_0-r,x_0+r)$, cada una de las $q_i$ ha infinitelly muchas raíces, por lo tanto cada una de las $q_i=0$.
