La forma paramétrica de un plano

Question

¿Puede explicarme cómo se obtiene de una ecuación no paramétrica de un plano como este:

$$x_1−2x_2+3x_3=6$$

a uno paramétrico. En este caso el resultado se supone que es

$$x_1 = 6-6t-6s$$ $$x_2 = -3t$$ $$x_3 = 2s$$

Muchas gracias.

Answer 1

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Un plano puede definirse por tres cosas: un punto, y dos vectores no lineales en el plano (piense en ellos como si dieran al plano una cuadrícula o sistema de coordenadas, de modo que puede moverse desde su primer punto a cualquier otro que los utilice).

Así que primero, necesitamos un punto inicial: ya que hay muchos puntos en el plano, podemos elegir al azar. Sólo tomaré $x_1=6,x_2=0$ para que $x_3=0$ y vemos que el punto $(6,0,0)$ resuelve la ecuación.

Ahora necesito dos vectores en el avión. Puedo hacerlo encontrando otros dos puntos en el plano y restándolos de éste (la diferencia de dos vectores apunta de uno a otro, de modo que si ambos puntos están en el plano su diferencia apuntará a lo largo del mismo). Tomaré los puntos $(0,-3,0)$ y $(0,0,2)$ . Fíjese en la simple construcción de todos mis puntos: ponga dos variables a cero y averigüe cuál debe ser la tercera. Casi siempre se puede hacer esto, y es probablemente la forma más fácil de hacerlo.

Así que mis vectores van a ser estos dos puntos menos el original que encontré. $$(0,-3,0)-(6,0,0)=(-6,-3,0)$$ $$(0,0,2)-(6,0,0)=(-6,0,2)$$ Ahora, cualquier vector en el plano, cuando se escala, sigue estando en el plano. Así que puedo definir mi plano así: $$(6,0,0)+(-6,-3,0)t+(-6,0,2)s$$

Es decir, empezar en el primer punto, y moverse $t$ cantidad en una dirección y $s$ cantidad en otro, donde $t$ y $s$ se extienden sobre los números reales, por lo que cubren todo el avión. Obsérvese que cada uno de los vectores escalados, cuando se conectan a la ecuación, dan $0$ . Así que para cualquier punto aquí, estamos haciendo $6+0+0=6$ que resuelve la ecuación original. Dividiendo esto en términos de componentes $(x_1,x_2,x_3)$ en lugar de puntos, obtenemos $$x_1=6-6t-6s$$ $$x_2=-3t$$ $$x_3=2s$$

Hay infinitas otras parametrizaciones que podrían haber funcionado, por lo que su respuesta podría parecer completamente diferente sin dejar de ser completamente correcta. Pero esta es probablemente la lógica que usaron, en caso de que te lo preguntes.

Answer 2

Una forma de hacerlo es dejar $x_1 = t$ y $x_2=s$ y luego resolver para $x_3$ .

Answer 3

Hay más de una forma de escribir cualquier plano es una forma paramétrica. Para escribir un plano de esta manera, elija tres puntos cualquiera $A$ , $B$ , $C$ en ese avión, no todo en una sola línea. Entonces $$f(s, t) = A + (B-A)s + (C-A)t$$