Visualización de la topología de un paquete del Vector

Question

He empezado a leer Milnor, Stasheff - Característica de las Clases y en la página de $18$ se demostró $\mathbb{R}^n$-bundle $\xi$ es trivial si y sólo si $\xi$ admite $n$ secciones $s_1, \dots , s_n$ que están en todas partes independientes.

Dentro de las pruebas que definir el operador $$f: B \times \mathbb{R}^n \to E $$ $$ f(b,x) = x_1 s_1(b)+ \cdots + x_n s_n(b) $$

y dicen que es continua.

Pero mi duda es: que la topología $E$ está equipado con?

Buscando en la definición de vector paquete de $E \to B$ me han:

1) $E$ es un espacio topológico (así que no sé qué topología tengo)

2) un mapa continuo $\pi : E \to B$ llamado de la proyección (para que al menos tengo todos los abiertos de la forma $\pi^{-1}(U)$ donde $U$ está abierto en $B$ (que tiene un fijo de la topología).

3) cada fibra es un espacio vectorial

y, a continuación, las condiciones de los locales de la trivialidad espera: para cada una de las $b \in B$ existe una vecindad $U \subset B$, un número natural $n$ y un homeomorphism $$ h: U \times \mathbb{R}^n \to \pi^{-1}(U)$$ so that, for each $b \B$, the correspondence $x \mapsto h(b,x)$ is an isomorphism between $\mathbb{R}^n$ and the fiber over $b$.él

esta última propiedad me da un poco de información acerca de la topología de subespacio de cada una de las $\pi^{-1}(U)$. Creo que no es un problema teniendo en cuenta $U$ abierto y por lo que tengo toda una nueva clase de abrir subconjunto en $E$ : cada $V$ tal que $V=h(A \times B)$ donde $A$ $B$ son, respectivamente, abrir los subconjuntos de a$B$$\mathbb{R}^n$.

Así es esta clasificación de la topología a través de Correo exhaustiva? en otros términos, estos y sólo estos son los subconjuntos abiertos en $E$?

otros dos dudas relacionadas con la pregunta principal:

A) Es la propiedad (en relación a $E$) de ser un espacio de Hausdorff depende del hecho de que $B$ es Hausdorff ? (y por lo tanto sin ninguna nueva información sobre $B$ no podemos decir nada?)

B) ¿Puede alguien me muestra cómo probar (una especie de paso a paso) la continuidad de la función $f$ definido anteriormente? así que puedo entender los mecanismos básicos de este tipo de razonamiento.

ANEXO I escribir este tipo de prueba de la continuidad. Yo no puedo juzgar si es correcto o no, porque no estoy muy condenada de ella, así que por favor, darle un cheque:

Considere la posibilidad de $W \subset E$ un conjunto abierto. Así que por la discusión por encima de sus intersecciones con el abrir de la forma $\pi^{-1}(U)$ $U$ abierta en $B$ son homeomórficos para abrir el conjunto de $B \times \mathbb{R}^n$. Considerar uno de esta intersección $\bar{W}$. A continuación, $f^{-1}(\bar{W})$ (estoy usando coordenadas locales) contiene los elementos de la forma $(b,v)$ donde $b \in B$ $v$ es la imagen de la aplicación lineal mapa que asignar a cada n-uple $v_1, \dots , v_n$ $v_1s_1(b)+ \cdots + v_ns_n(b)$ y un mapeo lineal en un número finito de dimensiones de espacio vectorial es continua. Así que es previa a la de la imagen es un conjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ y por definición de producto de la topología de la pre de la imagen de $\bar{W}$ a lo largo de $f$ es un abierto.

Está claro que yo soy un novato en este campo, (he empezado a leer este tema después de asistir a un curso básico sobre clásicos de la geometría diferencial, que terminó con un extremadamente rápido de vista sobre los conceptos de vector y paquete de campos vectoriales) así que tengo las respuestas exhaustivas sin implícito pasajes (tengo que aprender esos pasajes, así que tengo que ver al menos ) :) gracias de antemano

Answer 1

Aquí usted sólo necesita preocuparse acerca de la topología de la venida del barrio. Deje $B$ ser un espacio topológico. Suponiendo que podemos encontrar locales como banalizaciones $$ f_{U}:U_{E}\cong U\times \mathbb{R}^{n} $$ tal que a $U_{E}$ este es dado por el producto de la topología de $U\times \mathbb{R}^{n}$. Luego "pegar" dos de los barrios juntos utilizando $$g_{UV}:f_{V}f_{U}^{-1}:(U\cap V)\times \mathbb{R}^{n}\cong (U\cap V)_{E}\rightarrow (U\cap V)_{E}$$ Y la topología cociente que se obtiene por la elección de un atlas $\bigcup U_{i}=B$ $g_{U_{i},U_{j}}$ es la topología que desee en $E$.

Si usted tiene $n$ ningún lugar de fuga secciones independientes, entonces usted puede utilizar para construir un mapa global $$E\cong B\times \mathbb{R}^{n}$$so $E$ has the product topology in this case. For continuity, consider the $n=1$ case. If we know the bundle is $1$ dimensional, then the map $$B\times \mathbb{R}:(v,x)\rightarrow f(v)x$$must be continuous because multiplication by $x$ (a scalar) is continuous (part of definition of $E$), and $f$ is continuous by definition. Now for $n>1$ se deduce de la suma de un número finito de continuo mapas es continua.

El único paso para ser verificada es la multiplicación por escalares es, en efecto continuo. Se consideran dos enfoques. Algunas personas definen el mapa de $F_{x}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ a ser un espacio vectorial isomorfismo, entonces no hay duda acerca de la multiplicación escalar de la continuidad. Algunas personas definen $U_{E}\cong U\times \mathbb{R}^{n}$ directamente, por lo $F_{x}\cong \mathbb{R}^{n}$ como espacios vectoriales topológicos. A continuación, la multiplicación escalar de la continuidad de la siguiente manera a partir de la PLANA.