Números irracionales entre $n$ y $n+1$

Question

¿Es la cantidad de números de irrationals entre enteros consecutivos siempre lo mismo? ¿Esta cantidad es infinita?

Answer 1

La forma en que medimos (posiblemente infinita) cardinalidad es mediante el uso de bijections (uno-a-uno) de las asignaciones. Puesto que los números irracionales en el intervalo abierto $I=I_0=(0,1)$ están en bijection con los de $I_n=(n,n+1)$ por el mapa $f_n:x\mapsto x+n$, cada conjunto tiene la misma cardinalidad. Desde $n\in\mathbb{Z}$ fue arbitraria, todos ellos tienen la misma cardinalidad.

¿Por qué el mapa de $f_n$ por encima de poner $I\setminus\mathbb{Q}$ (los números irracionales entre el$0$$1$) en una correspondencia uno a uno con $I_n\setminus\mathbb{Q}$ (aquellos entre $n$$n+1$)? Esto se deduce del hecho de que $$x\in\mathbb{Q} \iff x+n\in\mathbb{Q}$$ since $$x=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q} \quad \implies \quad f_n(x)=x+n=\frac{p+nq}{q}\in\mathbb{Q}$$ as well; for the converse, use $f_{-n}$. This demonstrates that $f_n$ puts $I\cap\mathbb{Q}$ and $I_n\cap\mathbb{Q}$ in bijection. But since it also maps $I$ to $I_n$, it must as well map the respective set differences, or relative complements. Hopefully this will convince you that $x$ is irrational ($x\not\in\mathbb{Q}$) iff $x+n$ is, since the irrational reals are precisely the non-rational real numbers ($\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$), es decir, cualquier número real es racional o irracional.

El famoso argumento diagonal de Cantor demuestra que hay una cantidad no numerable de números reales en el $I$, mientras que el $I\cap\mathbb{Q}$ es countably infinito (tiene la misma cardinalidad como $\mathbb{N}$). Por lo tanto, la irrationals en $I$, es decir, el conjunto $I\setminus\mathbb{Q}$, es de un orden superior, de infinito. El primero se llama" $\aleph_0$ ("aleph-cero"), que es la cardinalidad de $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$, mientras que el segundo es $2^{\aleph_0}$, la cardinalidad del continuo. Suponiendo que la Hipótesis continua (que no existe un $S$ con cardinalidad entre estos, es decir, que los $\aleph_1<|S|<2^{\aleph_0}$) y el Axioma de Elección (que hay un menor número cardinal $\aleph_1>\aleph_0$), tendríamos $\aleph_1=2^{\aleph_0}$ y estos serían los primeros dos "órdenes" del infinito. Pero esto entra en el "más fino" aspectos de la teoría de conjuntos axiomática. El poder de los dos no es un accidente y se relaciona con el hecho de que no se puede poner en correspondencia 1-1 con su juego de poder, que es la joya que obtener a partir de la diagonal de un argumento.

Esta noción de cardinalidad desafía las expectativas que se han formado a partir de las leyes de la aritmética, ya que podría estar inclinado a pensar que $\mathbb{Z}$ es dos veces tan grande como $\mathbb{N}$, por ejemplo. Pero el mapa $$\phi(n)=(-1)^n\left\lfloor\frac{n+1}2\right\rfloor$$ actually provides a bijective (one-to-one and onto) map from $\mathbb{N}=\{0,1,\dots\}$ to $\mathbb{Z}$, demostrando equivalente de cardinalidad. También hay un teorema, conocido como el de Banach-Tarski paradoja, violando nuestro sentido de tamaño y número, mediante la asignación de una esfera (que entre otras cosas es un conjunto de puntos a tener cardinalidad del continuo, a un número de idéntico tamaño de las esferas, o en una versión más fuerte a uno más grande, donde la asignación sólo implica translaciones, rotaciones y totalmente discontinuo manera de descomponer en punto de conjuntos.

La moraleja de la historia es que cuando conceptualizamos específicas de los conjuntos de números, tendemos a asociar ciertas propiedades de los conjuntos con ellos, dotándolos de más pleno significado (por ejemplo, el orden, la escala o el tamaño y dimensión). Cuando tratamos de participar en el análisis formal de los sistemas de axiomas, propiedades y declaraciones acerca de los conjuntos, nos encontramos en la necesidad de articular y la franja de esas asociaciones, que dan forma a nuestra intuición, pero la trampa de nuestros conceptos dentro de nuestras concepciones. Una vez que ganamos la batalla de la formalización de la intuición, sin embargo, hemos ganado una batalla que puede abrir la puerta a nuevos mundos (por ejemplo bien el pedido, métrica espacios, medida y dimensión de Hausdorff). Otra forma de construcción de los números reales sería el uso de Dedekind cortes.

Answer 2

Si usted indica que el conjunto de los números irracionales entre $I_n$ $n$ $n+1$, entonces para cualquier $n,m$ la función $f\colon I_n\to I_m$ de $f(x)=x+m-n$ se ve fácilmente que es una biyección. Por lo tanto, los cardinalities de $I_n$ y $I_m$ son los mismos.

Answer 3

Sí. Hay muchos números irracionales entre $n$y $n+1$. De hecho, es igual a $\mathcal c = |\Bbb R|$.