¿Si $A^n = B$ y sé $B$, puedo encontrar $A$?

Question

Supongamos que $A$ y $B$ son inversible, $p \times p$ matrices. ¿Si $A^n = B$ y sé todas las entradas en $B$, puedo encontrar un $A$ algunos o todos números enteros $n \ge 0$? ¿Cuántas soluciones $A$ existen? Si estoy pensando correctamente, entonces $A = B * (A^{-1})^{n-1},$ pero esto es auto referencial. ¡Gracias!

Answer 1

Considerar $A=\left(\begin{array}{cc} 1\\ & 1 \end{array}\right)$ y $A^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} & 1\\ 1 \end{array}\right)$. Dos matrices cuadradas son la identidad. Así, si sabes $A^2 = I$, usted no puede determinar (únicamente) $A$.

Answer 2

No se puede hacer incluso cuando $p=1$, $n=2$: tomar $B=1$. Si $A^2=B$, entonces tal vez $A=1$, o tal vez $A=-1$.

Answer 3

Podemos utilizar el diagonalisation de $B$ a constract una solución de esta ecuación, que significa si $B=PDP^{-1}$ y Supongamos que $D=Diag(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k)$ si pones $A=PRP^{-1}$ donde R=Diag(\sqrt[n]{\lambda_1},\sqrt[n]{\lambda_2},\dots,\sqrt[n]{\lambda_k}) $$ $$ por lo que se puede verificar que $A^n=B$