¿lo que ' s la suma de esta secuencia finita?

Question

$a$ $b$ son enteros positivos. ¿La suma es de $$ \sum\limits_{x = 1} ^ un {x\left ({\begin{array}{*{20}{c}} {a + b - x}\\ b \end{matriz}} \right)}. $$ cualquier expresión de forma cerrada?

Pensé que debería tener. Y tal vez hay algún significado físico detrás de él.

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Lo siento, he simplificado el problema, y ahora resulta más fácil.

Answer 1

Este es el binomio identidad $\sum_{m=0}^n\binom{m}{j}\binom{n-m}{k-j} = \binom{n+1}{k+1}$ $j = 1$, $n = a+ b$ y $k = b+1$.

Answer 2

Simplificación completo Wolfram alfa produce: $$\sum_{x=1}^a x \binom{a+b-x}{b} =\frac{(a+b) (a+b+1) \binom{a+b-1}{b}}{(b+1) (b+2)}$ $ de los RHS: $$\frac{\Gamma (a+b+2)}{\Gamma (a) \Gamma (b+3)}$ $

Answer 3

Algunos experimentos da $\dbinom{a+b+1}{b+2}$. Esta es la respuesta correcta $1\le a, b\le 5$.