Teorema de Uspenskij-Tkachenko

Question

Teorema : Para un espacio moscovita $X$ cada $G_\delta$ -subconjunto denso $Y$ de $X$ está integrado en C $X$ .

Prueba $^{1}$ : Supongamos que $Y$ no está integrado en C $X$ . Entonces, como es fácil ver, hay subconjuntos abiertos $V_1$ y $V_2$ de $Y$ tales que sus cierres en $Y$ son disjuntos, mientras que la intersección de los cierres de $V_1$ y $V_2$ en $X$ no está vacío. Fijar un punto $x$ en $\overline{V_1}\cap \overline{V_2}$ y que $U_i$ sea el interior del cierre de $V_i$ en $X$ , $i = 1, 2$ . Evidentemente, $V_i\subset U_i$ por lo tanto, $U_i$ no está vacío. Dado que $X$ es un espacio moscovita, podemos encontrar $G_\delta$ -sets $P_i$ en $X$ tal que $x\in P_i\subset \overline{U_i}$ , $i = 1, 2$ . Entonces $P = P_1\cap P_2$ es un $G_\delta$ -subconjunto de $X$ y $x\in P$ por lo tanto, $P\cap Y$ es no está vacío. Claramente, cada punto de $P\cap Y$ pertenece a la intersección de los cierres de los conjuntos $V_1$ y $V_2$ en $Y$ lo cual es imposible, ya que esta intersección está vacía, por la elección de $V_1$ y $V_2$ .

1. A.V. Arhangel'skii, Sobre un teorema de W.W. Comfort y K.A. Ross Comment.Math.Univ.Carolin. 40,1 (1999)133-151; dml.cz .

En Grupos topológicos y estructuras afines , Teorema 6.1.7. p348 escribió más detalles sobre este teorema.

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Desde $Y$ no está integrado en C $X$ entonces $Y$ no es $C^{*}$ - integrado en $X$ y el teorema de extensión de Urysohn implica que $Y$ contiene dos subconjuntos $A$ y $B$ cuyos cierres en $X$ entrecruzarse. Tomemos subconjuntos abiertos $V_1$ y $V_2$ en $Y$ tal que $A\subset V_1$ , $B\subset V_2$ y los cierres de $V_1$ y $V_2$ en $Y$ son disjuntos. Claramente, la intersección de los cierres de $V_1$ y $V_2$ en $X$ no está vacío.

¿Cómo podemos tomar subconjunto abierto subconjunto abierto $V_1$ y $V_2$ de $Y$ tales que sus cierres en $Y$ son disjuntos?

Gracias.

Answer 1

$\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}}$ Supongamos que $Y$ no es $C$ -integrado en $X$ y que $f:Y\to\Bbb R$ sea una función continua sin extensión continua a $X$ . Entonces hay un $p\in X\setminus Y$ tal que $f$ no tiene extensión continua a $Y\cup\{p\}$ . Para $n\in\Bbb Z^+$ deje $C_n=\cl_Xf^{-1}\big[[-n,n]\big]$ claramente $Y\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb Z^+}C_n$ . Si $p\notin\bigcup_{n\in\Bbb Z^+}C_n$ entonces $X\setminus\bigcup_{n\in\Bbb Z^+}C_n$ es un $G_\delta$ que contiene $p$ y disjuntos de $Y$ contradiciendo el hecho de que $Y$ es $G_\delta$ -denso en $X$ Así que $p\in C_n$ para algunos $n\in\Bbb Z^+$ .

Supongamos que $[a,b]$ es un intervalo cerrado en $\Bbb R$ con $a<b$ y $p\in\cl_Xf^{-1}\big[[a,b]\big]$ . Sea $c=\frac12(a+b)$ Entonces $p\in\cl_Xf^{-1}\big[[a,c]\big]$ o $p\in\cl_Xf^{-1}\big[[c,b]\big]$ . Así, la bisección repetida a partir de $I_0=[-n,n]$ produce una secuencia $\langle I_k:k\in\omega\rangle$ de intervalos cerrados no degenerados en $\Bbb R$ tal que $p\in\cl_Xf^{-1}[I_k]$ para cada $k\in\omega$ y $\bigcap_{k\in\omega}I_k=\{a\}$ para algunos $a\in\Bbb R$ . Tenga en cuenta que si $U$ es cualquier nbhd abierto de $a$ en $\Bbb R$ entonces $I_k\subseteq U$ para algunos $k\in\omega$ y $p\in\cl_Xf^{-1}[U]$ .

Defina $g:Y\cup\{p\}\to\Bbb R$ dejando $g\upharpoonright Y=f$ y $g(p)=a$ ; $g$ es discontinua en $p$ por lo que existe un $\epsilon>0$ tal que para cada nbhd abierto $U$ de $p$ en $X$ hay un $y\in U\cap Y$ tal que $|g(y)-a|>\epsilon$ . Sea $V$ y $W$ sean conjuntos abiertos en $X$ tal que $$V\cap Y=\{y\in Y:|f(y)-a|>\epsilon\}$$ y $$W\cap Y=\left\{y\in Y:|f(y)-a|<\frac{\epsilon}2\right\}\;.$$ Entonces $p\in\cl_XV\cap\cl_XW$ y $Y\cap\cl_XV\cap\cl_XW=\varnothing$ .