Extensión de campos divisibles

Question

Supongamos que $F$ es un subcampo infinito de un campo $K$ tal que su grupo multiplicativo, $F^\times$ es divisible. También, $a\in K$ y $[F(a):F]<\infty$ . ¿Podemos concluir que el grupo multiplicativo de $F(a)$ ¿es un grupo divisible?

Por ejemplo, el cierre de la raíz de $\mathbb Q$ en $\mathbb C$ es un campo divisible. ¿Podemos obtener que cualquier extensión finita de este campo es un campo divisible?

Answer 1

Existe una extensión finita del cierre de la raíz de $\mathbb{Q}$ cuyo grupo multiplicativo no es divisible.

En primer lugar, aunque sea obvio, vamos a decirlo: un campo $F$ tiene un grupo multiplicativo divisible si y sólo si para cada $n\in \mathbb{N}$ cada elemento de $F$ admite un $n$ - la raíz.

Recordemos la definición del cierre de la raíz $\mathbb{Q}^r$ de $\mathbb{Q}$ . Definir un extensión de la raíz de $\mathbb{Q}$ para ser una secuencia de extensiones de la forma $$ \mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(a_1) \subset \mathbb{Q}(a_1, a_2) \subset \ldots \subset \mathbb{Q}(a_1, \ldots, a_r), $$ donde una potencia de $a_1$ se encuentra en $\mathbb{Q}$ y para cada $i\in\{2,\ldots r\}$ , un poder de $a_i$ se encuentra en $\mathbb{Q}(a_1, \ldots, a_{i-1})$ .

Dejemos que $\mathbb{Q}^r$ sea la unión de todas las posibles extensiones de raíces de $\mathbb{Q}$ . No es difícil ver que $\mathbb{Q}^r$ es un subcampo de $\mathbb{Q}^a$ (donde $\mathbb{Q}^a$ es el cierre algebraico de $\mathbb{Q}$ ). Además, como algunos polinomios sobre $\mathbb{Q}$ no puede ser resuelto por los radicales por el Teorema de Abel-Ruffini el campo $\mathbb{Q}^r$ está estrictamente contenida en $\mathbb{Q}^a$ .

Por construcción, para cada $n\in \mathbb{N}$ cada elemento de $\mathbb{Q}^r$ admite exactamente $n$ $n$ -a raíces en $\mathbb{Q}^r$ . Así, $(\mathbb{Q}^r)^*$ es divisible.

Dejemos que $L$ sea una extensión finita de $\mathbb{Q}^r$ (tal extensión existe, ya que $\mathbb{Q}^r \subsetneq \mathbb{Q}^a$ ). Podemos suponer que $L/\mathbb{Q}^r$ es una extensión de Galois (si no lo es, sustituya $L$ por su cierre de Galois). Sea $p$ sea un número primo que divide el orden del grupo de Galois $Gal(L/\mathbb{Q}^r)$ . Por Teorema de Cauchy hay un subgrupo de $Gal(L/\mathbb{Q}^r)$ de orden $p$ . Por lo tanto, por la Correspondencia de Galois existe una extensión de campo intermedia $$ \mathbb{Q}^r \subsetneq L' \subsetneq L $$ tal que $[L:L']=p$ .

Entonces el grupo multiplicativo de $L'$ no es divisible. De hecho, supongamos que lo es. Como $L'$ contiene todas las raíces de la unidad, entonces para cualquier $n\in \mathbb{N}$ cualquier elemento de $L'$ admite exactamente $n$ $n$ -a raíces en $L'$ . Ahora, el grupo de Galois de $L/L'$ tiene orden $p$ y, por lo tanto, es solucionable; por lo tanto, si $b\in L\setminus L'$ entonces el polinomio mínimo $P_b$ de $b$ en $L'$ es solucionable por radicales. Pero esto implica que $b\in L'$ una contradicción.

Así, $(L')^*$ no es divisible, y existe un $a\in L'$ y un $n\in \mathbb{N}$ tal que $a$ no admite ninguna $n$ -th raíz en $L'$ .

Por lo tanto, si tomamos $F=\mathbb{Q}^r$ y $a$ como en el caso anterior, entonces $F(a)^*$ no es divisible, aunque $F^*$ es.

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Un ejemplo finito

El único campo finito cuyo grupo multiplicativo es divisible es $\mathbb{F}_2$ . Así, tomando $F= \mathbb{F}_2$ sentado dentro de cualquier extensión finita $K$ nos da un contraejemplo.