¿Cómo probar $C(15,4) \cdot C(11,5) = C(15,5) \cdot C(10,4)$ combinatorially?
Entiendo cómo probar esto algebraicamente pero estoy incierto de lo que exactamente se supone que yo para demostrar a probar combinatorially.
$C(n,k)$, me refiero a $n$ elija $k$, es decir, $\dbinom{n}k$.
SUGERENCIA: he a $15$ blanco bolas, numeradas $1$ a través de $15$. Hay $\binom{15}4$ formas para recoger $4$ de ellos y pintarlos de azul. Que deja a $11$ bolas blancas, y hay $\binom{11}5$ formas de elegir los $5$ de ellos y pintarlas de rojo. Hay, por tanto, $\binom{15}4\binom{11}5$ formas de realizar las dos tareas de la sucesión, por lo que hay $\binom{15}4\binom{11}5$ formas para pintar $4$ de la $15$ bolas azules y $5$ de ellos de color rojo.
Ahora suponga que usted debe hacer la elección y la pintura en otro orden: en primer lugar elija $5$ bolas para pintura roja, a continuación, elija $4$ restante de los blancos que las bolas de pintura azul. De cuántas maneras se puede hacer eso?
Por supuesto, usted está consiguiendo los mismos resultados en cada caso: cada posible forma de pintar $4$ de las bolas azules y $5$ de ellos de color rojo. Así, los dos cálculos deben dar el mismo resultado. Contando lo mismo de dos maneras diferentes, como esta es la esencia de una combinatoria prueba de que dos cálculos de producir el mismo resultado.
Se puede interpretar que el lado izquierdo como el número de maneras de dividir 15 cosas en 4 | 11 y luego dividir los 11 5 | 6, dando 4 | 5 | 6. Del mismo modo la rhs es el número de maneras de dividir 15 cosas en 5 | 10 y luego dividir el 10 en 4 | 6. Por lo tanto combinatorially el lado derecho y el lado izquierdo, por tanto, da el número de maneras de dividir 15 cosas en 4 | 5 | 6.
Como una especie de respuesta / divertido a un lado, hay una variación de este problema que se presentó como un "auto-trabajo" truco de magia en el libro de Martin Gardner Hexaflexagons y Otros Matemáticos, de Desviaciones:
El mago, que está sentado en una mesa justo enfrente de un espectador, primero invierte 20 tarjetas en cualquier lugar en la cubierta. Es decir, se convierte boca arriba en el pack. El espectador fondo baraja la baraja, por lo que estos invierten las tarjetas se distribuyen al azar. Él sostiene los cubierta debajo de la mesa, donde está fuera de la vista de todos, y los recuentos de 20 cartas de la parte superior. Este paquete de 20 cartas es mano debajo de la mesa para el mago.
El mago toma el paquete, pero sigue manteniendo debajo de la tabla de modo que él no puede ver las cartas. "Ni usted ni yo," él dice, "sabe cuántas tarjetas se invierten en este grupo de los 20, que se entregó me. Sin embargo, es probable que el número de tarjetas es de menos de el número de invertir tarjetas entre los 32 que usted está sosteniendo. Sin mirar mis cartas, yo voy a llegar un poco más cara abajo cartas boca arriba y el intento de llevar el número de invertir cartas en mi paquete de exaclty el mismo número que el número de invertir en tarjetas de el tuyo".
El mago se balancea con sus tarjetas por un momento, pretendiendo que él se pueden distinguir los frentes y espaldas de las cartas por el sentimiento de ellos. Luego trae el paquete a la vista y se extiende sobre la mesa. El la cara de naipes son contados. Su número resulta ser idéntico con el número de cartas boca arriba entre las 32 a cabo por el espectador!
Yo se lo dejo como ejercicio para el lector de averiguar cómo el truco está hecho, pero basta con decir que se trata de la misma básicos combinatoric problema señalado aquí.
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