Determinante de matrices Toeplitz tridiagonales en bloque

Question

¿Existe una fórmula para calcular el determinante de matrices tridiagonales en bloque, cuando se conocen los determinantes de las matrices implicadas? En concreto, me interesa el caso

$$A = \begin{pmatrix} J_n & I_n & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ I_n & J_n & I_n & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & I_n & J_n & I_n & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & I_n & J_n & I_n \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & I_n & J_n \end{pmatrix}$$

donde $J_n$ es el $n \times n$ matriz tridiagonal cuyas entradas en las diagonales sub-, super- y principal son todas iguales a $1$ y $I_n$ es la matriz de identidad de tamaño $n$ .

Answer 1

Supongamos que $A\in M_{nk,nk}$ . Entonces $(P_n)$ sean las secuencias de matrices definidas como sigue: $P_1=J_n,P_2={J_n}^2-I,P_q=J_nP_{q-1}-P_{q-2}$ .

Entonces $\det(A)=\det(P_k)$ .

EDITAR. Los valores propios de $J_n$ son los $(1+2\cos(\pi \dfrac{p}{n+1})),p=1\cdots n$ Así, si $Q$ es cualquier polinomio, entonces podemos calcular aproximaciones de los valores propios de $Q(J_n)$ y, a continuación, una aproximación de $\det(A)$ . Cuando tenemos suficientes cifras significativas, deducimos el resultado verdadero -porque éste es un número entero-. Por último, no necesitamos calcular ningún producto de matrices. Que sigue calcula -usando Maple- $\det(A)$ cuando $n=k=100$ (duración del cálculo: $1$ "). Primer paso. Eliges Dígitos:=30. Ves que el resultado tiene $1076$ dígitos. Segundo paso. Eliges Digits:=1150 y eso funciona (ver la secuencia de ceros (o eventualmente de $9$ ) que aparece al final del desarrollo del número decimal obtenido).

reiniciar; con(ÁlgebraLineal): k := 100; n := 100; d := time(); B := Matrix(n, n); for i to n do B[i, i] := 1 end do; for i to n-1 do B[i, i+1] := 1; B[i+1, i] := 1 end do; z := CaracterísticaPolinomio(B, x); u := x; v := x^2-1; para i de 3 a k do w := v; v := rem(v x-u, z, x); u := w end do; Dígitos := 1150; Q := unapply(v, x); r := 1; de i a n do r := evalf(r Q(1+2*cos(i*Pi/(n+1)))) end do; print(r); time()-d;

$2.44387846087090290145607732170537391377490420405227812708050615\\ 28277319341932844677382952399933460059814926416716644013099963\\ 42708968356667589737763656457680692376518632271970928028188495\\ 28837548232087652163820090152818313133799717624970641029956038\\ 21298982012250961831581518578716473316074214193004344884914447\\ 80091522565037919891219503197811771573350002012798682732589728\\ 91073456252754229360553614557394171698663316722024355474750138\\ 99058808405660398400447542745412413310559180910765198835081950\\ 16753460456828320406836683930343030087726159407318434195928328\\ 91168720495008933297278988838511004283717390785348840943983494\\ 94573265138514209244141811048121198105502888315873129747553394\\ 28745956498781145738030840450505861505489488623215771119102138\\ 24860932438498432031584839888927118146735452787049842756602723\\ 13071431049603803135820994521439844817046772204723218141987299\\ 65625418270767015593634878034477052797174424114584736827230518\\ 99846006803088990947026408309411889789175194098825709435984858\\ 82242334251648224773936990898407542151092941240200527201190067\\ 27465966535881736354100000000000000000000000000000000143203220\\ 133487059755244617410791395080\times 10^{1075}$