¿Hay un principio de Maupertuis para Relatividad General?

Question

El movimiento de un punto de partículas en la mecánica clásica está dada por la ecuación del Neutonio, $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$. Supongamos que todas las fuerzas que se consideran son conservadores y tenemos una constante la energía total $h$. Deje $M$ ser el espacio de configuración de nuestro sistema, $T^*M$ su cotangente paquete, $(\mathbf{q},\mathbf{p})$ natural coordenadas en $T^*M$ $\gamma$ una curva que conecta el inicio y el final de los puntos de nuestra partícula de movimiento. A continuación, $\int_\gamma \mathbf{p}\,\mathrm{d}\mathbf{q}$ es una solución viable de acción integral. El Maupertuis teorema de los estados que $$\int_\gamma\mathbf{p}\,\mathrm{d}\mathbf{q}=\sqrt{2}\int_\gamma\mathrm{d}\rho,$$ donde $\mathrm{d}\rho$ es la métrica de Riemann dada por $$\mathrm{d}\rho=\sqrt{h-U(\mathbf{q})}\,\mathrm{d}s,$$ $\mathrm{d}s$ es el estándar de la métrica en la $M$ $U(\mathbf{q})$ la energía potencial. Esto implica que

$$\text{Newtonian mechanics $\Longleftrightarrow$ geodesic problem of some pair $(M,\mathrm{d}\rho)$}$$

El movimiento de un punto de partículas en la relatividad general está dada por la ecuación $$F=a\tag{1}$$ donde $a:=\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma$, $\gamma$ es el camino de la partícula, $\nabla$ es la de Levi-Civita de conexión de la spacetime $(\mathcal{M},g)$, e $F$ es algo de "fuerza" 4-vector. $F$ puede ser visto como una obstrucción a la geodesia de $\gamma$, ya que el $a=0$ es simplemente la ecuación geodésica. (De la misma manera, $\mathbf{F}$ es una obstrucción a la geodesia en $\mathbb{R}^n$ desde $\mathbf{a}=0$ $\Leftrightarrow$ $\mathbf{x}$ es una línea recta y $U(\mathbf{q})$ en el caso de los limitados Lagrangiana de la mecánica.) (Pruebas de las afirmaciones anteriores de la mecánica clásica puede ser encontrado en Arnold, V. I. Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica. Springer, 1989.)

¿Hay algún par de $(\mathcal{M}',g')$ para que la geodésica problema es (1), es decir, una adecuada generalización de la Maupertuis principio relativista de la mecánica en la curva el espacio-tiempo?

Answer 1

I) asumimos OP se trata de un enorme punto de partícula de masa de reposo $m_0>0$ en una de Lorenz espacio-tiempo colector $(M,g)$ [de la firma $(+,-,\ldots, -)$] entre un primer y un último punto en el espacio-tiempo $p_i, p_f\en M$, which should be causally connected. Let us work in units where the speed of light $c=1$ and rest mass $m_0=1$ son tanto.

II) Antes de hablar de Maupertuis del principio, debemos primero se tiene una acción estacionaria principio(SAP). OP pregunta menciona un no especificado $4$-fuerza. Para tener una variacional, debemos exigir que ese $4$-fuerza proviene de un potencial de $U$. El la acción es entonces

$$ S[x;\lambda_i,\lambda_f] ~=~\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! d\lambda~L, \qquad L~=~T-U, $$ $$\etiqueta{1} T~:=~-\sqrt{T_0},\qquad T_0~:=~ g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}, $$

donde $\lambda$ es un parámetro, y el punto medio de la diferenciación wrt. $\lambda$.

III) En el SAP, se imponen las condiciones de contorno de Dirichlet (BC)

$$\tag{2} x^{\mu}(\lambda_i)~=~x_i^{\mu}\qquad\text{and}\qquad x^{\mu}(\lambda_f)~=~x_f^{\mu}, $$

y mantener a $\lambda_i,\lambda_f$ fijo.

IV) vamos a suponer que la acción (1) es invariante reparametrization

$$\tag{3}\lambda\quad\longrightarrow\quad \tilde{\lambda}~=~f(\lambda), $$

desde la física debe ser geométrico.

V) El Lagrangiano $4$-el impulso y la energía de la función de convertirse en

$$\tag{4} p_{\mu}~:=~\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^{\mu}}~=~ -\frac{g_{\mu\nu}\dot{x}^{\nu}}{\sqrt{T_0}}-\frac{\partial U}{\partial\dot{x}^{\mu}},$$

y

$$\tag{5} h~:=~ p_{\mu}\dot{x}^{\mu} - L~=~\left(1 - \dot{x}^{\mu}\frac{\partial }{\partial\dot{x}^{\mu}}\right)U, $$ respectivamente.

VI) Generalmente cuando se habla de la acción abreviado principio, se supone que el Lagrangiano (1) no explícita $\lambda$-dependencia, de modo que la energía (5) se conserva en la cáscara. No explícita $\lambda$-dependencia de mayo de sonido natural e inocente, pero junto con la reparametrization la invariancia (3), que restringe severamente los posibles potenciales de $U$. El potencial de Lorentz $U\propto A_{\mu}\dot{x}^{\mu}$ todavía se permite, por supuesto.

VII) De hecho, no explícita $\lambda$-dependencia y reparametrization la invariancia (3) básicamente implica que la función de la energía (5) se desvanece de forma idéntica.

VIII) La acción abreviado se convierte en

$$\etiqueta{6} a[x;E,\lambda_i,\lambda_f] ~=~\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! d\lambda~ p_{\mu}\dot{x}^{\mu}$$

para las rutas de acceso virtuales de constante y la misma energía

$$ \tag{7} h~=~E, $$

la satisfacción de Dirichlet BC (2), pero libre de $\lambda_i$$\lambda_f$. De la Sección VII, sabemos que la energía $E=0$ gotas de la acción abreviado (6).

IX) de Regresar a la OP de la pregunta, parece que hay poca esperanza de lograr un Jacobi raíz cuadrada forma de abreviado del principio de la acción (6) sin más suposiciones.

El siguiente paso lógico es suponer que el potencial de $U$ sí no dependen de la $4$-velocidad de $\dot{x}^{\mu}$. A continuación, la función de la energía $h\equiv U$ se convierte en energía potencial, y $p_{\mu}\dot{x}^{\mu}\equiv T\equiv -\sqrt{T_0}$.

Sin embargo, con todos los otros requisitos anteriores, básicamente, esto implica que el potencial de $U=0$ cero!

Por supuesto, sin un potencial $U=0$, como era de esperar lograr un Jacobi raíz cuadrada de la forma de la acción abreviado principio

$$\etiqueta{8} [x;E,\lambda_i,\lambda_f] ~=~-\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! d\lambda~\sqrt{T_0} .$$

La acción abreviado (8) es idéntica a la de SAP (1) que se inició a partir, esencialmente debido a reparametrization invariancia.