La aproximación de una $\sigma$-álgebra por una generación de álgebra

Question

Teorema. Deje $(X,\mathcal B,\mu)$ de un número finito de medir el espacio, donde $\mu$ es una medida positiva. Deje $\mathcal A\subset \mathcal B$ un álgebra de generación de $\cal B$.

A continuación, para todos los $B\in\cal B$$\varepsilon>0$, podemos encontrar $A\in\cal A$ tal que $$\mu(A\Delta B)=\mu(A\cup B)-\mu(A\cap B)<\varepsilon.$$

Creo que no hay una prueba en este sitio.

Es un resultado útil por varias razones:

• Sabemos qué es el álgebra generada por una colección de conjuntos es, pero no es lo que la genera $\sigma$-álgebra es.
• El mapa $\rho\colon \cal B\times\cal B\to \Bbb R_+$, $\rho(A,A')=\mu(A\Delta A')$ da un pseudo-métrica en $\cal B$. Esto hace que un vínculo entre la generación de un álgebra y densa para el pseudo-métrica.
• Decimos que un $\sigma$-álgebra es separable si es generado por una contables de la clase de conjuntos. En este caso, el álgebra generada por esta clase es contable. Una con el mencionado resultado, podemos demostrar que $L^p(\mu)$ es divisible por $1\leq p<\infty$, lo que hace un enlace entre las dos nociones.
• En ergodic theory, tenemos que probar la mezcla de condiciones sólo una generación de álgebra, no en todas las $\sigma$-álgebra.

Answer 1

Prueba: Vamos A $$\mathcal S:=\left\{A\in \mathcal{B}\mid \forall\varepsilon>0,\exists A'\in\mathcal A,\mu(A\Delta A')\leq \varepsilon.\right\}.$$ Tenemos que probar que $\cal S$ $\sigma$- álgebra, ya que contiene, por definición,$\cal A$.

• $X\in\cal S$ desde $X\in\cal A$.
• Si $A\in\cal S$$\varepsilon>0$, vamos a $A'\in\cal A$ tal que $\mu(A\Delta A')\leq \varepsilon$. A continuación,$\mu(A^c\Delta A'^c)=\mu(A\Delta A')\leq \varepsilon$$A'^c\in\cal A$.

• En primer lugar, nos muestran que la $\cal A$ es estable por finito de los sindicatos. Por inducción, es suficiente para hacerlo por dos elementos. Deje $A_1,A_2\in\cal S$$\varepsilon>0$. Podemos encontrar $A'_1,A'_2\in\cal A$ tal que $\mu(A_j\Delta A'_j)\leq \varepsilon/2$. Como $$(A_1\cup A_2)\Delta (A'_1\cup A'_2)\subset (A_1\Delta A'_1)\cup (A_2\Delta A'_2),$$ y $A'_1\cup A'_2\in\cal A$, $A_1\cup A_2\in \cal A$.

  Ahora, vamos a $\{A_k\}\subset\cal S$ disjuntos a pares y $\varepsilon>0$. Para cada una de las $k$, vamos a $A'_k\in\cal A$ tal que $\mu(A_k\Delta A'_k)\leq \varepsilon 2^{-k}$.
  Deje $N$ tal que $\mu\left(\bigcup_{j\geq N+1}A_j\right)\leq \varepsilon/2$. Deje $A':=\bigcup_{j=1}^NA_j\in\cal A$. Como $$\left(\bigcup_{k\geq 1}A_k\right)\Delta A'\subset \bigcup_{j=1}^N(A_j\Delta A'_j)\cup\bigcup_{k\geq N+1}A_k,$$ y llegamos a la conclusión de la sub-aditividad.