Encontrando $\sqrt{17}$ y $\sqrt{257}$ en el habitual $17$ -gon y $257$ -¿Gon?

Question

( Editar : Necesito revisar esta pregunta con mi intención original. Por favor, no la responda todavía. Gracias .)

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Dada la regularidad $n$ -gon formado por el $n$ -raíces de la unidad. Para algunos $n$ ¿Cómo podemos encontrar $\sqrt{n}$ utilizando la suma/diferencia de segmentos de línea ?

$n=5:$

Basta con utilizar un segmento de línea: Si $x^5=1$ entonces puede ser la distancia entre la raíz $x_0$ en la línea real, y $x_2$ en el segundo cuadrante,

$\hskip2.2in$

$$1+\sqrt{\big(1+\cos\big(\tfrac{4\pi}{5}\big)\big)^2+\big(\sin\big(\tfrac{4\pi}{5}\big)\big)^2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\tag1$$

$n=17:$

He observado que utilizando la suma/diferencia de cuatro segmentos de línea. Definir,

$$L(\alpha,\beta)=\sqrt{\left(\cos\big(\tfrac{2\pi\,\alpha}{17}\big)+\cos\big(\tfrac{2\pi \,\beta}{17}\big)\right)^2+\left(\sin\big(\tfrac{2\pi\,\alpha}{17}\big)-\sin\big(\tfrac{2\pi \,\beta}{17}\big)\right)^2}$$

entonces,

$$L(0,3)-L(1,5)+L(3,7)+L(4,8)=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\tag2$$

$n=257:$

$$???\tag3$$

Preguntas:

1. ¿Existe una alternativa a $(2)$ que es puramente una suma de positivo ¿valores?
2. ¿Cómo podemos encontrar $(3)$ ? (Supongo que necesita $64$ segmentos de línea).

Answer 1

Si $p\equiv1\bmod4$ entonces $\sum_0^{p-1}e^{2\pi ia^2/p}=\sqrt p$ .

Y si $p≡3$ mod $4$ el lado derecho de la igualdad de la suma es simplemente $i\sqrt{p}$ . Dichas sumas, para cualquiera de los dos caae, se denominan sumas de Gauss.

Por ejemplo, en un hendecágono regular con vértices numerados del 0 al 10 en orden de rotación, la suma de Gauss muestra que las distancias del vértice $k$ a $11−k$ con $k$ distinto de cero y con signo negativo para $k=2$ , da $\sqrt{11}$ veces el circunradio.