¿Cómo puedo calcular esta integral?

Question

Me pregunto cómo calcular la integral $$ \int_2^3\int_0^\sqrt{3x-x^2}\frac{1}{(x^2+y^2)^{1/2}}\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x. $ $ claramente es muy complicado hacerlo directamente, así que supongo que tienes que hacer algún cambio de variables. Pero ¿qué tipo de cambio? Esto no es realmente una esfera, por lo que no creo que coordenadas polares sería tan buenos.

Answer 1

Realmente querrás usar coordenadas polares. Establecer su primera integral en y, Plaza que y y usted debería ver puede mover x a la izquierda. Luego puede convertir esto en el valor de r para coordenadas polares. También le cuenta que está mapeando una esfera en la coordenada superior derecha (que le permite elegir los valores de theta). A partir de ahí es una integración bastante simple. Propósito voy a dejar el trabajo, si necesitas aclaración me avisas.

Answer 2

A partir de la integral

\begin{equation*} \int \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}dx \end{ecuación *}

Uso la sustitución $x=y\tan(u),~dx=y\sec^2(u)du.$ la integral se convierte

\begin{equation*} y\int \frac{\sec(u)}{y}du=\int\sec(u)du=\int \frac{\sec^2(u)+\tan(u)\sec(u)}{\tan(u)+\sec(u)}du. \end{ecuación *}

Usar la sustitución $s=\tan(u)+\sec(u):$

\begin{equation*} \int \frac{1}{s}ds=\log(s). \end{ecuación *}

La sustitución de vuelta otra vez y usando $\sec(\tan^{-1}(z))\sqrt{z^2+1}$ y $\tan(\tan^{-1}(z))=z$ obtenemos

\begin{equation*} \log(\sqrt{x^2+y^2}+x). \end{ecuación *}

¿Puede terminar el resto de la integración?

Answer 3

en coordenadas polares, la integral es equivalente a

$$\int _0^{\arctan \left(\left.\sqrt{2}\right/2\right)}\int _{2 \sec \theta }^{3\cos \theta }drd\theta =$$ $$\int_0^{\arctan \left(\left.\sqrt{2}\right/2\right)} (3\cos \theta -2 \sec \theta ) \, d\theta =$$ $$\sqrt{3}-\ln \left(2+\sqrt{3}\right)$$

$r$ va de la línea recta $r=2 sec \theta $ al círculo.