Si la raíz cuadrada de $-1$ se llama $\mathrm{i}$ tenemos $\sqrt{-121}=\sqrt{121}\sqrt{-1}=11 \, \mathrm{i}$ . La solución es $\sqrt[3]{2+11 \, \mathrm{i}}+\sqrt[3]{2-11 \, \mathrm{i}}$ Para calcular $\sqrt[3]{2+11 \, \mathrm{i}}$ fijamos
$$ \sqrt[3]{2+11i}=a+b \, \mathrm{i}$$
con verdaderos $a$ y $b$ . Elevando a la 3ª potencia obtenemos $$2+11\, \mathrm{i}=(a+b \, \mathrm{i})^3$$ Ahora comparando la parte real e imaginaria obtenemos dos ecuaciones para dos variables $a$ y $b$ que se puede resolver para encontrar $a=2$ y $b=1$ . Los mismos cálculos se pueden hacer para $2-11\, \mathrm{i}$ para conseguir $a=2$ y $b=-1$ . Yo uso $maxima$ para hacer los cálculos. $\%i$ es la unidad imaginaria en máxima . x:expr asigna expr a la variable x . Los bloques de texto alineados a la izquierda se introducen en máxima El texto centrado es máxima de salida. máxima La salida fue formateada manualmente por mí.
/* assign to the variable z */
z:2+11*%i;
$$11 \, \mathrm{i}+2 $$
/* the cubic root of z is a complex number
with unknown real part a
and unknown complex part b*/
r:a+b*%i;
$$\mathrm{i} \, b +a $$
/* display r^3 = z */
collectterms(expand(r^3),%i)=z;
$$\mathrm{i} \, (3a^2b-b^3)-3ab^2+a^3 = 11 \, \mathrm{i} +2$$
/* from r^3=z we get an equation for the real parts
and for the imaginary parts */
eq1:realpart(r^3)=realpart(z);
eq2:imagpart(r^3)=imagpart(z);
$$a^3-3ab^2=2$$ $$3a^2b-b^3=11$$
/* we solve this system of two equations
with the unknowns a and b*/
solve([eq1,eq2],[a,b]);
$$\begin{array}{} & [[a=2,&b=1], \\ & [a=0.93301-1.61603 \, \mathrm{i}, & b=1.06699 \, \mathrm{i}-0.61603], \\ & [a=1.61603 \, \mathrm{i} +0.93301, & b=-1.066987 \, \mathrm{i}-0.616025], \\ & [a=0.11603 \, \mathrm{i}+0.06699, & b=1.93301 \, \mathrm{i}+1.11603], \\ & [a=0.06699-0.11603 \, \mathrm{i}, & b=1.11603-1.93301 \, \mathrm{i}] ] \end{array}$$
/* now compute the other cubic root */
z:2-11*%i;
$$2 - 11 \, \mathrm{i}$$
/* display r^3 = z */
collectterms(expand(r^3),%i)=z;
$$\mathrm{i} \, (3a^2b-b^3)-3ab^2+a^3 = 2- 11 \, \mathrm{i} $$
/* from r^3=z we get an equation for the real parts
and for the imaginary parts */
eq1:realpart(r^3)=realpart(z);
eq2:imagpart(r^3)=imagpart(z);
$$a^3-3ab^2=2$$ $$3a^2b-b^3=-11$$
/* we solve this system of two equations
with the unknowns a and b*/
solve([eq1,eq2],[a,b]);
$$\begin{array}{} &[[a=2,&b=-1], \\ &[a=1.61603 \mathrm{i} +0.93301,&b=1.06699 \mathrm{i} +0.61603],\\ &[a=0.93301-1.61603 \mathrm{i} ,&b=0.61603-1.06699 \mathrm{i} ], \\ &[a=0.06699-0.11603 \mathrm{i} ,&b=1.93301 \mathrm{i} -1.11603], \\ &[a=0.11603 \mathrm{i} +0.06699,&b=-1.93301 \mathrm{i} -1.11603]] \end{array}$$
Sólo me interesan los pares de soluciones reales $[a,b]$
y así el resultado es $(2+i)+(2-i)=4$
