Supongamos que los factores primos de a $n^2+1$ son todos delimitada por $N$ para infinidad de $n$. Luego infinitamente muchos enteros $n^2 + 1$ puede ser escrita en la forma $D y^3$ para uno de un número finito de $D$. Explícitamente, el conjunto de $D$ puede ser llevado a ser un número finito de enteros cuyo primer divisores son todos menos de $N$, y cuyos exponentes son en la mayoría de las $2$. Por ejemplo, si $N=3$,$D \in \{1,2,4,3,6,12,9,18,36\}$. Dejando $x = n$, se deduce que por lo menos uno de los $D$, hay infinitamente muchas soluciones de la ecuación
$$x^2 - D y^3 = -1.$$
De tu post original, supongo que usted sabe realmente este argumento, excepto que se convierten $n^2 + 1$ $D y^2$en lugar de $D y^3$ (por supuesto, también se puede utilizar $D y^k$ fijos $k$, en el costo de aumentar el número de posibles $D$).
Resulta, sin embargo, que la ecuación de $x^2 - D y^3 = -1$ sólo ha finitely muchas soluciones, y que este es un conocido consecuencia del teorema de Siegel (1929), que dice que cualquier curva de género, al menos, uno tiene sólo un número finito de integral de puntos. Siegel prueba en efecto, el uso de la Thue-Siegel método, aunque la prueba es bastante complicado. Es muy posible que este sea el argumento de que Chowla tenía en mente - es, sin duda es consistente, ya que Chowla del papel es de 1934 > 1929.
Hay algunos más aplicaciones directas de Thue-Siegel a diophantine ecuaciones, en particular, a la llamada Thue ecuaciones, que se parecen a $F(x,y) = k$ para algunos irreductible homogénea polinomio $F$ de grado de al menos tres. Un ejemplo típico sería:
$$x^n - D y^n = -1,$$
para $n \ge 3$. Aquí el punto es que las aproximaciones racionales $x/y$ $\sqrt[n]{D}$son de la orden de $1/y^n$, lo que contradice Thue límites mientras $n \ge 3$. Ecuaciones de este tipo son lo que se refiere en el artículo de la wikipedia.
Edición de Refilón en la que el papel de Chowla en tu comentario, se puede ver la más elemental de enfoque. Deje $K$ el valor del campo $\mathbf{Q}(i)$, y deje $\mathcal{O} = \mathbf{Z}[i]$ denotar el anillo de enteros de $K$. Supongamos, como en el anterior, que existe un conjunto infinito $\Sigma$ de los números enteros tales que a $n^2+1$ tiene factores primos menos de $N$. Para $n \in \Sigma$, escribir $A = n+i$$B = n-i$; los que tienen pequeños factores en $\mathcal{O}$ (que es un PID, aunque el argumento puede ser hecho para trabajar más en general, se utilizan el número de clase). Como en el anterior, se puede escribir $A =(a + bi)(x + i y)^3$ donde $a + bi$ viene de una lista finita de elementos de $\mathcal{O}$ (explícitamente, los elementos cuya descomposición en factores primos en $\mathcal{O}$ sólo contiene números primos dividiendo $N$ con exponente en la mayoría de las $2$). Desde $\Sigma$ es infinito, por lo tanto hay infinitamente muchas soluciones para algunos fijos $a + b i$, o lo que es equivalente, infinitamente muchas soluciones a las ecuaciones (tomando el conjugado):
$$n + i = (a + b i)(x + i y)^3, \qquad n - i = (a - b i)(x - i y)^3,$$
Tomar la diferencia de estas ecuaciones y se dividen por $2i$. Nos encontramos con una infinidad de soluciones a la ecuación:
$$b x^3 + 3 a x^2 y - 3 b x y^2 - a y^3 = 1.$$
Esto ahora es homogénea, por lo que se puede aplicar Thue del teorema, en lugar de Siegel del Teorema. (Explícitamente, las fracciones $x/y$ están produciendo aproximaciones racionales a la raíz de $b t^3 + 3 a t^2 - 3 b t - a = 0$, lo que contradice la Thue límites.)
