La norma p convergen en la máxima norma en alguna norma

Question

¿El $p$-norma en $\mathbf{R}^n$ convergen en el max-norma en $\mathbf{R}^n$ como los elementos en el espacio de los reales valores de funciones continuas en $\mathbf{R}^n$ dotado con alguna norma?

Más precisamente, considere la posibilidad de $V = C(\mathbf{R}^n, \mathbf{R})$. No existe una norma $\Vert \cdot \Vert$ $V$ de manera tal que la secuencia de $(\Vert \cdot \Vert_p)_p$ converge a la norma máxima $\Vert \cdot \Vert_\infty$ con respecto al $\Vert \cdot \Vert$?

Aquí está la motivación para esta pregunta.

En cierto sentido, yo, sin embargo, el max-norma debe ser el límite de la $p$-normas de $p$ va al infinito. "Tomar una $\infty$-ésima raíz de la suma de los infinitos poderes", en cierto sentido, debería ser la norma máxima. Pensé que esto podría ser hecho preciso.

Answer 1

Como t.b. anteriormente, estamos mirando las funciones de $f_p:{\mathbb R}^n\to {\mathbb R}$ $f_p(x)=\|x\|_p$ y quiero saber si convergen a $f_\infty$ en algunos norma en $C({\mathbb R}^n,{\mathbb R})$. Es fácil ver que $f_p \to f_\infty$ uniformemente en compactos de conjuntos, y así si se considera el espacio de $C(\Omega,{\mathbb R})$ donde $\Omega \subset {\mathbb R}^n$ es limitado y abierto, a continuación, $f_p \to f_\infty$ en, por ejemplo, todos los $L^p$ normas $C(\Omega,{\mathbb R})$.

Para $C({\mathbb R}^n,{\mathbb R})$, el problema es que las funciones de $f_p$ no pertenecen a $C({\mathbb R}^n,{\mathbb R})$, al dotarlo de cualquiera de las normas estándar, tales como $L^p$ normas, por lo que no podemos hablar de convergencia a $f_\infty$. Dicho esto, usted puede mirar en menos de unas normas comunes, tales como

$\|f\|_X = \sup_{r >0}\left( e^{-r}\sup_{|x|\leq r} |f(x)|\right)$

o ponderado $L^P$ normas

$\displaystyle \|f\|_{w,p} = \left( \int_{{\mathbb R}^n} w(x) |f(x)|^p dx\right)^{1/p}$

donde $w$ es positivo función de ponderación que decae a cero (exponencialmente) como $|x|\to \infty$ a fin de "cancelar" el crecimiento de $f$. A continuación, la secuencia $f_p$ sería en realidad pertenecen al espacio de $C({\mathbb R}^n,{\mathbb R})$ cuando dotado de cualquiera de estas normas. Yo no he escrito esto, pero parece que sería muy fácil demostrar que $\|\cdot\|_p \to \|\cdot\|_\infty$ $\|\cdot\|_X$ $\|\cdot\|_{w,p}$