Orientability de colectores

Question

Teniendo en cuenta que $f \colon \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$ es una función lisa y si $c \in \mathbb R$ es un valor regular ¿cómo haría demostrando $f^{-1} (c)$ es un múltiple orientable? Gracias de antemano.

Answer 1

Podemos hacer una elección coherente de vector normal en cada punto de $f^{-1}(c)$, es decir, el gradiente de $f$ en ese momento. Dada una base $v_1,\ldots,v_{n-1}$ del espacio tangente a $f^{-1}(c)$ en un % de punto $x$, podríamos definir esta base para orientarse positivamente iff $v_1,\ldots,v_{n-1},\nabla f(x)$ está orientada positivamente como una base del espacio tangente a $\mathbb{R}^n$ $x$.

Uno tiene que comprobar, por supuesto, que estas orientaciones varían suavemente con el % de punto $x\in f^{-1}(c)$.