Demostrar que $x\sqrt{1-x^2} \leq \sin x \leq x$

Question

Utilizar el teorema del valor medio para demostrar eso si $0 \leq x \leq 1$ y %#% $ de #% el teorema garantiza la existencia de un punto, pero no una desigualdad, así que no sé cómo empezar.

Answer 1

Definir $$F(x)=\sin{x}-x$ $ $$F'(x)=\cos{x}-1\leq 0$ $ si $0<b\in [0,1) $ $[0,b] $ es un intervalo que satisface el teorema del valor medio, entonces

$$F(b)-F(0)<0$$ $$F(b)<0$$ $$\sin{b}<b$% $ de b\in[0,1) de $ for all $, la igualdad es que si $x=0,1$

Ahora definen %#% $ #%

Answer 2

Otra manera de demostrar que esta desigualdad es darse cuenta de que esto puede desigualdad puede escribirse como:

$$\frac{1}{2}\sin(2x)\le\sin(\sin(x))\le\sin(x)$$ for $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$.

Vamos $f(x)=\frac{1}{2}\sin(2x)$, $g(x)=\sin(\sin(x))$, y $h(x)=\sin(x)$. Entonces $f'(x)=\cos(2x)$, $g'(x)=\cos(\sin(x))\cos(x)$, y $h'(x)=\cos(x)$. De ello se deduce rápidamente que:

$g'(x)=\cos(\sin(x))\cos(x)\le\cos(x)=h'(x)$ cualquier $x$ y tenemos $g(0)=h(0)$$g(x)\le h(x)$$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$.

Desde $\cos(x)$ es la disminución de $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$ y la desigualdad demostrado en el párrafo anterior establece $\sin(x)\le x$ $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$ tenemos:

$f'(x)=\cos(2x)=\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)\le\cos(x)\cos(x)\le\cos(\sin(x))\cos(x)=g'(x)$ $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$ y $f(0)=g(0)$$f(x)\le g(x)$$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$.