Primos de la forma $x^2+5xy+5y^2$

Question

Tratando de describir todos los primos de la forma:

$$x^2+5xy+5y^2$$

Una pista fue dada con la pregunta para mostrar todos los números primos $p$ 5 que es un residuo cuadrático mod $p$. He podido mostrar que los primos $\pm1$ mod 5 satisfacer esto... pero no sé cómo esto ayuda. ¡Se agradecería cualquier punteros siguiente paso! ¡Gracias!

Answer 1

Um, mira, un (positivo) impar prime con $(5|p) = (p | 5) = 1$ puede ser utilizado para producir un binario forma cuadrática $f(x,y) = a x^2 + b x y + c y^2,$ o $\langle a,b,c \rangle,$ con particular los coeficientes de $\langle p,\beta,\gamma \rangle$ con discriminante $\Delta = \beta^2 - 4 p \gamma = 5.$ Esto puede ser reducida a $\langle 1,1,-1 \rangle$ o el equivalente a $\langle -1,1,1 \rangle,$, lo que muestra que se puede escribir $p = u^2 + u v - v^2.$ Un pequeño cambio muestra $p = x^2 + 5 x y + 5 y^2,$ tal vez usted puede hacer que parte.

Ver Números representables como $x^2 + 2y^2$

Tenga en cuenta que la reducción indefinida formas es un poco diferente de lo positivo. Podemos organizar $\langle a,b,c \rangle,$ tal que $0 < b < \sqrt \Delta$ y $ \sqrt \Delta - b < 2 |a| < \sqrt \Delta + b$ y hay más de uno, un número finito de formas reducidas en cada clase de equivalencia.

La reducción puede ser organizado por una secuencia finita de estos pasos: tomar el "Saco" de la matriz de la forma $\langle a,b,c \rangle,$ $$ H = \left( \begin{array}{cc} 2a & b \\ b & 2c \end{array} \right). $$ Ahora tome la matriz $P \in SL_2 \mathbb Z$ dada por $$ P = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & \delta \end{array} \right) $$ y calcular $$ G = P^T H P. $$ Ahora, $G$ es la matriz Hessiana de un "equivalente" (pensar acerca de cómo ir de un estado de Hesse matriz a una forma). La elección correcta de las integer $\delta$ toma la forma más cercana a la reducción, después de unos pocos pasos de la forma se reduce, y de otras medidas tomar la forma a través de un ciclo de formas equivalentes, de vuelta a la primera reducido. Los valores absolutos de las $\delta$'s (una vez reducida) son los dígitos de los repetidos parte de la continuación de la fracción por un cierto cuadrática irracional, atado con la ecuación de Pell. La continuación de la fracción con todos los "dígitos" igual a $1$ es la Proporción áurea. Sólo estoy diciendo.

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jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./indefCycle
Input three coefficients a b c for indef f(x,y)= a x^2 + b x y + c y^2 
   1       5      5  

  0  form              1           5           5  delta      0
  1  form              5          -5           1  delta     -2
  2  form              1           1          -1


          -1           2
           0          -1

To Return  
          -1          -2
           0          -1

0  form   1 1 -1   delta  -1
1  form   -1 1 1   delta  1
2  form   1 1 -1
minimum was   1rep 1 0 disc   5 dSqrt 2.2360679775  M_Ratio  5
Automorph, written on right of Gram matrix:  
-1  -1
-1  -2
 Trace:  -3   gcd(a21, a22 - a11, a12) : 1
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jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ 

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