Ejemplos de conjuntos no medibles en $\mathbb{R}$

Question

Soy un novato en el análisis real. Estoy aprendiendo el concepto de medible por mí mismo utilizando el libro de Royden "Real Analysis". Tengo una pregunta sobre los conjuntos medibles. La siguiente definición viene del libro de Royden (página 35).

Definición: Un conjunto $E$ se dice que es medible siempre que para cualquier conjunto $A$ , $$m^*(A)=m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^C)$$ donde $m^*(\cdot)$ denota la medida exterior de un conjunto.

Para mí, intuitivamente, la ecuación anterior es válida para todos los conjuntos. En $\mathbb{R}$ Creo que un conjunto puede ser un intervalo o una serie de puntos aislados (¿no?). Parece que estos tipos de conjuntos son todos medibles por la definición. ¿Puede alguien darme un ejemplo de no medible para que pueda tener una comprensión intuitiva respecto a este concepto? Gracias.

Answer 1

Es imposible construir un ejemplo explícito de un subconjunto no medible por Borel de $ \mathbb{R} $ ya que cualquier prueba de la existencia de dicho subconjunto debe requerir el Axioma de Elección ( $ \mathsf{AC} $ ). Como ya sabrá, cualquier construcción que se base en $ \mathsf{AC} $ nunca es explícito - $ \mathsf{AC} $ sólo produce resultados de existencia pura.

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Antes de entrar en una explicación más detallada, introduzcamos primero algunas notaciones.

1. $ \mathsf{ZF} $ - Los axiomas de Zermelo-Fraenkel.
2. $ \mathsf{ZFC} $ - $ \mathsf{ZF} + \mathsf{AC} $ .
3. $ \mathsf{DC} $ - Axioma de elección dependiente.
4. $ \text{Con}(\text{Statement $ P $}) $ - Declaración $ P $ es consistente.

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Es un resultado bien conocido de la teoría de conjuntos (Teorema 10.6 de El axioma de la elección de Thomas Jech) que $$ \text{Con}(\mathsf{ZF}) \Longrightarrow \text{Con} (\mathsf{ZF} + \mathbb{R} \text{ is a countable union of countable sets}). $$ Por lo tanto, desde un modelo de $ \mathsf{ZF} $ podemos construir otro modelo $ M $ de $ \mathsf{ZF} $ en la que la declaración $$ \mathbb{R} \text{ is a countable union of countable sets} $$ es cierto. Observe que $ M $ no puede satisfacer $ \mathsf{DC} $ porque si lo hiciera, entonces como es demostrable dentro de $ \mathsf{ZF} + \mathsf{DC} $ que una unión contable de conjuntos contables es contable, $ \mathbb{R} $ sería contable en $ M $ . Esto es contradictorio, ya que es demostrable dentro de $ \mathsf{ZF} $ que $ \mathbb{R} $ es incontable (véase aquí ).

Ahora razonamos dentro de $ M $ . Dejemos que $ S \subseteq \mathbb{R} $ La afirmación es que $ S $ es medible por Borel. Lo tenemos, a priori , una secuencia $ (A_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ que consiste en subconjuntos contables de $ \mathbb{R} $ tal que $ \displaystyle \mathbb{R} = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} $ . Entonces $$ S = \bigcup_{n=1}^{\infty} (S \cap A_{n}). $$ Como es demostrable dentro de $ \mathsf{ZF} $ que un subconjunto de un conjunto contable es contable, cada $ S \cap A_{n} $ es contable. Por lo tanto, $ S $ es una unión contable de conjuntos contables. Como $ \sigma $ -es, por definición, cerrada bajo una unión contable, y como los monotonos en $ \mathbb{R} $ son medibles por Borel, se deduce que un subconjunto contable de $ \mathbb{R} $ es medible por Borel y que $ S $ siendo una unión contable de subconjuntos contables (por tanto medibles por Borel) de $ \mathbb{R} $ es medible por Borel. Por lo tanto, \begin{align} \text{Con}(\mathsf{ZF}) \Longrightarrow \text{Con} (\mathsf{ZF} + \text{Every subset of $ \mathbb{R} $ is Borel-measurable}). \end{align} Ahora vemos que es coherente con $ \mathsf{ZF} $ solo que cada subconjunto de $ \mathbb{R} $ es medible por Borel. Sin embargo, esta situación es inadecuada, porque sin $ \mathsf{DC} $ en $ M $ no podemos desarrollar gran parte del análisis real, por ejemplo, no podemos establecer la $ \sigma $ -aditividad de la medida estándar de Borel.

Si $ \mathsf{DC} $ se permite, ¿cuáles son las implicaciones entonces? Esto se explica en la siguiente sección.

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El trabajo realizado por Robert Solovay y Saharon Shelah ha dado el siguiente resultado: \begin{align} & ~ \text{Con}(\mathsf{ZFC} + \text{An inaccessible cardinal exists}) \\ \iff & ~ \text{Con} (\mathsf{ZF} + \mathsf{DC} + \text{Every subset of $ \mathbb{R} $ is measurable}). \end{align} La implicación hacia adelante fue la primera en ser demostrada, por Solovay en su famoso trabajo Un modelo de teoría de conjuntos en el que cada conjunto de reales es medible por Lebesgue . Shelah demostró más tarde la implicación hacia atrás en su documento ¿Se puede quitar lo inaccesible de Solovay?

Una cosa está clara: si se quiere un modelo de $ \mathsf{ZF} $ donde $ \mathsf{DC} $ se satisface para poder hacer un análisis real, y exigir al mismo tiempo que todos los subconjuntos de $ \mathbb{R} $ sea medible por Borel, entonces el precio a pagar es plantear que la existencia de cardinales inaccesibles es compatible con $ \mathsf{ZFC} $ .

En realidad, no es del todo descabellado suponer que existen cardenales inaccesibles. De hecho, la teoría moderna de las categorías da por sentada su existencia al postular la existencia de Universos de Grothendieck (una prueba formal de que la existencia de universos de Grothendieck es equivalente a la existencia de cardinales inaccesibles puede encontrarse en SGA 4, en el apéndice Univers escrito por Bourbaki). Por lo tanto, supongamos, sin perder demasiado el sueño, que un modelo $ M $ existe que satisface $$ \mathsf{ZF} + \mathsf{DC} + \text{Every subset of $ \ de la que se ha hablado. $ is Borel-measurable}. $$

Ahora podemos demostrar que cualquier prueba de la existencia de un subconjunto no medible por Borel de $ \mathbb{R} $ se basa en $ \mathsf{AC} $ . Supongamos, por si acaso, que la prueba no depende de $ \mathsf{AC} $ es decir, es demostrable dentro de $ \mathsf{ZF} $ que un subconjunto no medible por Borel de $ \mathbb{R} $ existe. Entonces como $ M $ satisface $ \mathsf{ZF} $ obtenemos (dentro de $ M $ ) un subconjunto no medible por Borel de $ \mathbb{R} $ lo que contradice el hecho de que $ M $ no contiene ningún conjunto de este tipo. Por lo tanto, $ \mathsf{AC} $ (o alguna versión débil de la misma) se requiere efectivamente para la prueba.

Answer 2

Desgraciadamente, no existe tal cosa como una construible conjunto no medible, es decir, no podemos definirlo explícitamente. Siempre acabamos confiando en algún principio de elección. He aquí un ejemplo para darte una idea de cómo podría ser un conjunto no medible.

Answer 3

Shiyu, Si m* denota la medida exterior de Lebesgue y si la mensurabilidad se define como lo hiciste, lo que se obtiene es la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$ (una medida completa), que difiere de una medida de Borel. Hay más conjuntos no Borel y un conjunto no Borel puede seguir siendo medible por Lebesgue mediante un argumento de cardinalidad.

Como otros han señalado, para encontrar un conjunto no medible de Lebesgue se necesita AC. Muchos libros de análisis tienen algunas "construcciones" estándar que utilizan AC. El siguiente es mi método preferido para obtener conjuntos y funciones no medibles de Lebesgue:

De AC se deduce que el espacio vectorial $\mathbb{R}$ sobre el campo $\mathbb{Q}$ tiene una base (Hamel). Un mapa de conjuntos de esta base a $\mathbb{R}$ se extendería a un $\mathbb{Q}$ -función lineal de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ . Este método produce un número infinito de $\mathbb{Q}$ -funciones lineales que no son $\mathbb{R}$ -lineal. Un $\mathbb{R}$ -función lineal de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ siempre tiene la forma $f(x)=cx$ . También es un buen problema de ejercicio demostrar que todo medible de Lebesgue $\mathbb{Q}$ -La función lineal es $\mathbb{R}$ -lineal. Por lo tanto, hemos obtenido muchas funciones no medibles de Lebesgue.

Answer 4

Considere que el ordinal cardinal $c=2^{\omega}$ es el cardinal del conjunto $D$ de subconjuntos cerrados incontables de $\mathbb R$ y que $c$ es también el cardinal de cada miembro de $D.$

Dejemos que $D=\{E(x): x<c\}.$ Para $x<c$ dejar $f(x), g(x)$ ser miembros desiguales de $$E(x)\; \backslash \; \cup_{y<x} \{f(y),g(y)\} .$$

Dejemos que $A=\{f(x):x<c\}.$ Tampoco $A$ ni $\mathbb R$ \ $A$ tiene un subconjunto cerrado incontable, por lo que tanto $A$ y $\mathbb R \backslash A$ tienen la medida interna de Lebesgue $0,$ así que $A$ no es medible por Lebesgue.