$G$ es isomorfo a un subgrupo de $H$ y viceversa

Question

Deje $G$ $H$ es divisible entre dos grupos que cada uno de los cuales es isomorfo a un subgrupo de la otra, entonces el $G\cong H$.

Lo que he hecho es usar el inyectiva propiedad para ambos grupos:

1. $G\cong K\le H$ , por lo que tenemos $G\stackrel{\iota}{\hookrightarrow} H$ $G\stackrel{id}{\longrightarrow} G$ y, a continuación, existe $H \stackrel{\phi}{\longrightarrow} G$ que $\phi\circ i=id|_G$.

2. $H\cong S\le G$ , por lo que tenemos $H\stackrel{\iota}{\hookrightarrow} G$ $H\stackrel{id}{\longrightarrow} H$ y, a continuación, existe $G \stackrel{\psi}{\longrightarrow} H$ que $\psi\circ i=id|_H$.

Es mi enfoque de derecho? ¿Puedo preguntar qué va a ocurrir si se omite el adjetivo divisible? Gracias.

Answer 1

La clave aquí es la clasificación de los divisible entre grupos. Cada divisible grupo es una suma directa de copias de $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Z}/{p^\infty}$ para cualquier prime $p$ donde $\mathbb{Z}/{p^\infty}$ denota el grupo de $p^n$-torsión de los elementos en el círculo unidad.

Ninguno de estos grupos pueden mapa trivial en cada uno de los otros, a excepción de $\mathbb{Q}$, lo que no se puede inyectar en una suma de los demás, porque todos los demás son de torsión grupos (comprobar!). Por lo tanto, si tenemos una inyección de una divisible grupo a otro, cada sumando en el dominio tendrá su imagen dentro de sumandos del codominio que son isomorfos.

Usted ahora está reducido a demostrar que la cardinalidad de la colección de sumandos de un determinado tipo de isomorfismo en el dominio no es más que lo que tiene en el codominio. Esto es fácil de $\mathbb{Q}$ ya que se puede ver como un $\mathbb{Q}$-espacio vectorial. Para cada una de las $p$, puede restringir su atención a $p$-torsión de los elementos y aplicar el mismo argumento sobre el $\mathbb{Z}/p$.