Campos finitos como espacios del vector

Question

Tengo gran dificultad para entender este tema.

Alguien puede explicar concretamente lo se entiende por pensamiento de $GF(q^2)$ ($q$ una energía primera) como un dos dimensiones espacio del vector encima su subcampo $GF(q)$ (fijada la mapa $x \mapsto x^q$).

¿Cómo se puede construir una base del espacio vectorial? Si $\alpha$ era la raíz primitiva en $GF(q^2)$ y $\beta$ $GF(q)$. Entonces $\alpha^{n(q+1)}=\beta^n$. ¿Cómo estarían representado en la notación de espacio del vector $\alpha^{n(q+1)+m}$?

Answer 1

Deje $E$ ser un campo finito de orden $p^n$ donde $p$ es algún número primo. Deje $F=\{0,1,2,\cdots,p-1\}$ ser el subcampo de $E$ generado por $1$. Vemos a $E$ $F$- espacio vectorial de la siguiente manera:

(1) $E$ es un grupo abelian en virtud de la adición.

(2) Si $\alpha\in F$ e si $x\in E$, definimos $\alpha\cdot x$ a ser el producto de $\alpha$ $x$ en el campo de $E$. Tenga en cuenta que esto define "producto escalar" de los elementos de $F$ por elementos de $E$.

Usted debe verificar que $E$ $F$- espacio vectorial. Por ejemplo,

(1) Si $\alpha\in F$ e si $x,y\in E$, $\alpha\cdot(x+y)=\alpha\cdot x + \alpha\cdot y$ ya que la multiplicación es distributiva sobre la suma en el campo de $E$.

(2) Si $\alpha,\beta\in F$ e si $x\in E$, $(\alpha+\beta)\cdot x=\alpha\cdot x + \beta\cdot x$ por razonamiento similar a la de (1).

(3) Si $\alpha,\beta\in F$ e si $x\in E$, $\alpha\cdot(\beta\cdot x)=(\alpha\beta)\cdot x$ donde $\alpha\beta$ es el producto de $\alpha$ $\beta$ en el campo de $F$. Esto se desprende de la asociatividad de la multiplicación en $E$.

(4) Finalmente, $1\cdot x=x$ todos los $x\in E$ desde la identidad de $1$ $F$ es también la identidad de $E$.

Por lo tanto, $E$ es de hecho un $F$-espacio vectorial como se reivindica.

Espacios vectoriales se producen en formas inesperadas a lo largo de las matemáticas y por lo tanto, es importante acostumbrarse a este ejemplo en particular. Por ejemplo, si usted ha estudiado la teoría de campo de extensiones, usted sabrá que si $F\subseteq E$ son los campos, a continuación, $E$ puede ser visto como un $F$-espacio vectorial. Un básico (pero importante) como resultado de esta situación es que si $E$ es finito-dimensional espacio vectorial sobre$F$, $E$ es algebraico sobre $F$. (Por supuesto, lo contrario se produce un error como que usted debe comprobar.)

Sabemos que $GF(q^2)$ es la división de campo de un polinomio de grado $2$$GF(q)$. Si $\alpha$ es una raíz de este polinomio en $GF(q^2)$, $[GF(q)][\alpha]=GF(q^2)$ como usted debe comprobar. En este caso, sabemos por elemental de la teoría de campo que $\{1,\alpha\}$ es una base para$GF(q^2)$$GF(q)$. (Intuitivamente, ya que $\alpha$ cumple un polinomio de grado $2$$GF(q)$, podemos escribir $\alpha^2$ $GF(q)$- combinación lineal de $1$$\alpha$. Repita este procedimiento para los poderes superiores de $\alpha$.)

Answer 2

Voy a intentar entender la última parte de la pregunta.

Si $\alpha$ es un primitivo elemento de GF$(q^2)$, entonces cada elemento no nulo de GF$(q^2)$ puede ser escrito como una potencia de $\alpha$, y es fácil hacer la multiplicación en el campo cuando se representan sus elementos de esta manera.

Cada elemento puede escribirse de forma única como $a+b\alpha$ $a$ $b$ en GF$(q)$, y es fácil de hacer, además de en el campo cuando usted declara sus elementos de esta manera.

Yo tome lo que usted está preguntando acerca de cómo hacer las dos representaciones distintas de relacionarse, por ejemplo, ¿cómo encontrar el $a$ $b$ que hacen de $\alpha^2=a+b\alpha$. Pero la respuesta a esto, el conocimiento de $\alpha$ es primitivo no es suficiente. Usted tiene que saber más acerca de exactamente qué primitivo elemento que ha elegido - todos ellos tienen las mismas propiedades multiplicatively, pero diferentes propiedades de forma aditiva.