Hace un tiempo aprendí lema de Fatou. Soy capaz de probarlo y usarlo. Sé que los ejemplos que muestran que las desigualdades pueden ser estrictas. Pero realmente no tienen una manera intuitiva de entender. ¿Alguna buena idea?
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zhw.
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Puesto que la integral de Lebesgue para no negativo de funciones es construido "desde abajo" por tomar suprema de "obvio" que las integrales, la monotonía teorema de convergencia siempre me ha parecido ser el más natural de los tres grandes (MCT, FL, LDCT). Y FL es un corolario directo de la MCT: Empezar con lo obvio, es decir,
$$\int \inf \{f_n,f_{n+1}, \dots \} \le \int f_n.$$
Desde que llegamos
$$\lim_{n\to \infty} \int \inf \{f_n,f_{n+1}, \dots \} \le \liminf_{n\to \infty} \int f_n.$$
Realmente, que debería ser $\liminf$ a la izquierda, pero desde el integrands aumentar, así, como los integrales, por lo que el límite existe y estamos bien. Ahora por el MCT, ese límite puede ser movido a través de la integral de la señal, y entonces usted tiene FL.
phoeagon
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Fatou del lema indica que, en el límite de la "masa" sólo puede ser perdido, pero no se genera. Recordemos el satement. Si $f_n,f\geq 0$ son medibles y $f_n\to f$ pointwise una.e., luego tenemos a $\int f \leq \liminf_{n\to\infty}f_n$.
Un ejemplo clásico es $f_n= n \chi_{[0,1/n]}$ donde $\int f_n=1$ todos los $n$, pero en el límite de la masa escapa a la "vertical" infinity, así que se pierde, y tenemos que $f_n\to 0=:f$.e., con $\int f=0$.
El otro ejemplo donde, fugas en masa a "horizontal" infinity, es $f_n= \chi_{[n,n+1]}$. De nuevo $f_n$ tiene una masa de $1$, pero el límite tiene una masa de $0$.
Si queremos cerrar estas opciones de escape, entonces la masa se conserva, es decir,$\int f=\lim_{n\to\infty} \int f_n$. Por ejemplo, una manera de hacerlo es suponer que $f_n$ están delimitadas y todos ellos son compatibles en un gran intervalo de $[-M,M]$. Esto se deduce del Teorema de Convergencia Dominada, que da una bastante criterio general para la convergencia de la integral: si $|f_n|\leq g$ donde $\int g<\infty$, entonces la masa se conserva por debajo del límite.
