Una cuestión básica en la intuición de corte racional en la construcción de los números reales

Question

La intuición para cortes probablemente viene de la experiencia estándar de aproximación por terminar decimales. Por ejemplo, podemos aproximar la secuencia $\sqrt{2}$ $1,1.4,1.41,1.414,1.4142, \dots$. Ahora, por qué establece un corte para $\sqrt{2}$ requiere "todo" rationals menos de $\sqrt{2}$. Intuitivamente, sólo estos racionales $1,1.4,1.41,1.414,1.4142, \dots$ identifica $\sqrt{2}$. ¿No son suficientes?

Pregunta relacionada: ¿por qué la adición de dos corte ajustada se define como el conjunto de todas posible suma de elementos de las dos cutsets?

Answer 1

Por diversas razones, principalmente de conveniencia. Una buena razón es dada, considerando la incorporación de los racionales en los reales; la aproximación decimal de $1$, por ejemplo, parece un poco tonto - uno podría escribir $0.9,0.99,0.999,\cdots$ pero de lo contrario se obtiene una secuencia finita, que parece extraño. Otra razón es simplemente para evitar la vinculación de la construcción para el decimal sistema de conteo. La construcción habitual es completamente ambigua, más consistente, y tiene buenas operaciones.

Hablando de las operaciones - ¿qué más se puede definir además como? Es evidente que usted necesita a la suma de un número infinito de pares porque el resultado debe ser un conjunto infinito, y no hay manera natural de elegir sólo algunos pares en los conjuntos de $x$ $y$ cuando computing $x+y$. En efecto, si el conjunto resultante debe contener todos los racionales a continuación algunos de corte, se deben considerar muchos posibles adiciones o usted puede perder algunos.

Pensar en la multiplicación de su secuencia de ahora - ¿cómo definirías $\sqrt 2\times \sqrt 2$? Usted no consigue una secuencia con un dígito más cada vez que acaba multiplicando juntos de un conjunto determinado de elementos. Por lo tanto, usted necesita más de manipulación para solucionar este ser de la forma correcta. Este es un gran dolor!

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No son la terminación de decimales suficiente ?

Sí, usted podría también definir las cosas sólo en términos de la terminación de los decimales, pero de nuevo, hay trabajo que hacer, y desde la terminación depende de la base de que trabajo en esto no es muy natural. (Es atado a la base 10 de nuevo y no por una buena razón; ya estamos familiarizados con la no terminación de expresiones como $1/3$.)

La cosa esta que hace molesto es el de la división de reales. Que divide en dos la terminación de los racionales no siempre te dan otra manera ($\frac 1 3$ más), así que esto requiere una atención especial.

Básicamente, el punto es que la construcción debe abarcar la (ordenada) de las propiedades de campos de $\mathbb Q$ si es ser "agradable". La terminación de los decimales no son un campo.

Answer 2

Ahora, ¿por qué un corte establecido para $\sqrt{2}$ exige que "todos" racionales menos de $\sqrt{2}$.

Este es Dedekind la idea (estos cortar conjuntos son a menudo llamados "Dedekind recortes", después de él), y funciona. Simple como eso. Su idea funciona demasiado - hay más de una manera para la piel de un gato.

Pero tan pronto como se escribe la frase "$\mathbb{R} = \{\text{Dedekind cuts of }\mathbb{Q}\}$", un par de cosas que son muy evidentes:

• consigue $\mathbb{Q}$ sentado dentro de $\mathbb{R}$
• se puede definir además (sólo tiene que añadir todos los elementos de dos conjuntos, y se obtiene otro conjunto de corte) y la multiplicación (del mismo modo)
• puede definir < y $\mathbb{R}$ es ordenado
• $\mathbb{R}$ (por definición) tiene al menos-límite superior de la propiedad: no-vacío subconjunto acotado de arriba tiene una supremum
• etc.

Usted puede comprobar todo esto con su definición demasiado, y lo que se refiere a la misma cosa. Es sólo un poco de messier.

Aviso que no me han pedido que escriba un Dedekind corte, por ejemplo, $\pi$ explícitamente. (¿Cómo hacer esto?) Eso es porque realmente no quiere saber que $\pi$ existe en esta etapa - a todos nos interesa saber ahora es que el sistema de número de $\mathbb{R}$ existe y tiene todas las propiedades atractivas que pensamos que lo hace. Y, por supuesto, no. Una vez que hayas hecho esto, podremos preocuparnos de todos los números que necesitamos.

Answer 3

La respuesta a tu pregunta es un poco complicado - las sucesivas aproximaciones decimales definir un número cuyo cuadrado es$2$, en un contexto en el que cada aumento de la secuencia que está delimitada por encima tiene un límite.

Hay una buena discusión aquí, y más temas relacionados aquí.

Pero hay un problema más grande. La raíz cuadrada de $2$ puede ser llevado a ser el límite de diferentes secuencias de números racionales (tratar de trabajar en base a $9$ o $11$ en lugar de la base de $10$ para empezar). Si tomamos las secciones de "todos" los racionales, se hace más fácil trabajar con números reales, porque no tenemos que seguir demostrando que dos representaciones son equivalentes (por ejemplo, para los fines de la multiplicación de números).

Answer 4

Hay más de una manera de la modelización de los números reales. El uso de Dedekind cortes es una de ellas. O podemos utilizar secuencias de Cauchy. Una secuencia de Cauchy es una secuencia de racionales cuyos elementos se vuelven arbitrariamente cerca el uno del otro como la secuencia avanza (y su ejemplo de la progresiva decimal aproximaciones desde abajo para $\sqrt{2}$ es un buen ejemplo de una secuencia de Cauchy, aunque en general no requieren secuencias de Cauchy para ser monótono).

Ahora, por supuesto, puede haber muchas secuencias de Cauchy que, intuitivamente, convergen en el mismo lugar, por lo que para la mayoría de los casos será más conveniente para el modelo de un número real, y no con una particular secuencia de Cauchy, pero en lugar de con una equivalencia de la clase de secuencias de Cauchy. Pero su intuición estaba en lo cierto: Dedekind los recortes no son la única manera de ir aquí.