Dimensión fractal autosimilar del fractal asimétrico

Question

Por lo que sé, el siguiente fractal tiene una dimensión fractal autosimilar de

$D = -\log(3) / \log(1/2) = 1.5850$

Pero cuál es la dimensión fractal del siguiente fractal (4 veces el fractal de arriba)

¿Cambia la dimensión del fractal cuando incluyo el fractal en cada cuadrado, como parcialmente dibujado en el siguiente gráfico?

(Los otros cuadrados, por ejemplo los amarillos, también tendrán el fractal insertado. No lo he dibujado todavía, ya que sólo uso Photoshop para la inclusión autosimilar)

Esta inclusión del fractal en cada cuadrado parece ser autosimilar, pero no se puede describir con la fórmula de la dimensión fractal autosimilar, ya que la constante de estiramiento no es la misma, ya que los cuadrados, donde se incluye el fractal, tienen diferentes tamaños.

Si no se puede aplicar la dimensión fractal autosimilar, ¿qué método debo utilizar para determinar la dimensión fractal? ¿Cuenta de cajas?

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ACTUALIZACIÓN

Esta es mi descripción de la construcción no formal:

• La plaza central tiene un tamaño de $1^2$ .

• Todas las casillas posteriores tienen la mitad de la longitud del borde. La distancia es también la mitad de la longitud del borde del cuadrado anterior.

Utilizando el factor de reducción de la distancia de 0,5 y el factor de reducción del cuadrado de 0,5, el fractal resultante tiene un perímetro de $4v$ donde $v$ es $5*\sqrt{2}/2$ . En consecuencia, cuando se sustituye cada cuadrado por el conjunto (como se hace con el gráfico #3), entonces el factor de reducción de escala del fractal completo es $1/v$ .

Aquí hay un gráfico para explicar mejor la construcción:

En el siguiente nivel, cada cuadrado de soldit se sustituye por el propio conjunto, de modo que se crea un verdadero fractal.

Answer 1

Estaría bien tener una descripción precisa del conjunto que tienes entre manos, en lugar de una simple foto. Sin embargo, a juzgar por la imagen, apostaría a que estás trabajando con un IFS que es geométricamente similar al IFS que consiste en las siguientes tres funciones: \begin{align} f_1(x,y) &= \frac{1}{2}R\left(\frac{\pi}{2}\right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \derecha) + \izquierda( \begin{array}{c} 1/2 \\ 0 \end{array} \(derecha) \\ f_2(x,y) &= \frac{1}{2} \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \derecha)+ \izquierda( \begin{array}{c} 0 \\ 1/2 \end{array} \ right) \\ ~ - f_2(x,y) f_2(x,y) &= \frac{1}{2}R\left(-\frac{pi}{2}right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \derecha)+ \izquierda( \begin{array}{c} 1/2 \\ 1 \end{array} \derecha), \N y \fin {align} donde $R(\theta)$ es el $2\times2$ matriz de rotación a través del ángulo $\theta$ . La imagen de un conjunto $A$ bajo este IFS es simplemente $$ \bigcup_{i=1}^3 f_i(A). $$ Un cuadrado de unidad orientado, junto con su imagen bajo este IFS, tiene el siguiente aspecto:

Si se comienza con un cuadrado unitario sólido y se aplica el IFS de forma iterativa, se genera una secuencia de imágenes con el siguiente aspecto:

Si iteramos esto 10 veces y coloreamos las piezas, obtenemos una imagen como esta:

Llamemos a este conjunto $S$ que es, efectivamente, un conjunto autosimilar, sin solapamiento, formado por 3 copias de sí mismo escaladas por el factor $1/2$ . Como tal, su dimensión de similitud es, como usted dice, $\log(3)/\log(2)$ .

Sin embargo, me parece que sus imágenes se generan utilizando una técnica llamada condensación. Esto significa simplemente que, en lugar de limitarse a aplicar el IFS para generar un nuevo conjunto, conservamos también el conjunto anterior. Si lo hacemos partiendo de un pequeño cuadrado girado centrado en $(1/2,1/2)$ generamos una secuencia de imágenes así:

Y, después de unos cuantos iterados más:

Llamemos a este conjunto $T$ ¿que supongo que es tu foto?

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Ahora, algunas respuestas. Aunque, $\dim(S)=\log(3)/\log(2)$ Esto es no el caso de $T$ . $T$ contiene cuadrados sólidos y, como tal, tiene dimensión completa 2. Tus versiones de 4 pliegues deben tener la misma dimensión que el conjunto con el que empiezas, ya que no son más que la unión del conjunto original con una copia rotada de ese conjunto.

Por último, el cálculo de la dimensión fractal de su último conjunto es una cuestión no trivial. Creo que es más fácil de describir utilizando un sistema de funciones iteradas de dígrafos. Suponiendo esto, he generado la siguiente imagen:

Obsérvese que el cuadrado central es una copia del conjunto escalada por el factor $1/4$ . Allí es solapamiento entre las piezas, lo que dificulta el cálculo de la dimensión. Suponiendo que el factor de escala central sea una potencia de $1/2$ la dimensión puede calcularse mediante las técnicas definidas en este documento aunque, de nuevo, esto no es especialmente fácil. Con estas técnicas, sin embargo, he calculado que la dimensión de la última imagen es $$\frac{\log{\lambda}}{\log{4}} \approx 1.75829,$$ donde $\lambda\approx11.44$ es la mayor raíz positiva de $x^3-11 x^2-5 x-1$ .