Artinian si y sólo si noetheriano

Question

Que $R$ ser un anillo (conmutativo, con identidad), $m$ un ideal máximo y $M$ un $R$-módulo. Supongamos que $m^nM=0$ $n>0$. Entonces

$M$ es noetheriano si y sólo si $M$ es Artinian

¿Tienes alguna idea como solucionar esto?

Answer 1

Vamos a utilizar el siguiente estándar de álgebra conmutativa hecho:

Deje $A$ ser un anillo conmutativo, y $E$ $A$- módulo. Supongamos que hay una filtración $$E = E_0\supseteq E_1\supseteq\cdots\supseteq E_n = 0$$ of $Un$-submodules $E_i$. Then $E$ is Noetherian (resp. Artinian) $\iff$ each quotient $E_i/E_{i+1}$ es Noetherian (resp. Artinian).

Tenga en cuenta que usted tiene una filtración $$M \supseteq mM\supseteq m^2M\supseteq\cdots\supseteq m^nM = 0.$$ Thus $M$ is Noetherian (resp. Artinian) if and only if each of the successive quotients $m^kM/m^{k+1}M$ are Noetherian (resp. Artinian) $R$-modules. Note that each quotient $m^kM/m^{k+1}M$ is naturally an $R/m$-module, and moreover that $m^kM/m^{k+1}M$ will be a Noetherian (resp Artinian) $R$-module $\iff$ it is a Noetherian (resp Artinian) $R/m$-module. Since $R/m$ is a field, we know that $m^kM/m^{k+1}M$ is a Noetherian $R/m$-module $\iff$ it is an Artinian $R/m$-module $\iff$ it is finite dimensional over $R/m$. In particular, each of the quotients $m^kM/m^{k+1}M$ is Noetherian if and only if it is Artinian, and hence $M$ es Noetherian si y sólo si es Artinian.

Answer 2

(EDIT: Uf, pensé que esta era la respuesta obvia, pero no veo ninguna buena razón por la $\overline{R}$ a ser Artinian, por lo que el H-L Teorema puede ser demasiado. La otra "pieza" de la H-L teorema se utiliza en la otra solución es mejor).

Deje $\overline{R}$ denotar $R/ann(M)$ donde $ann(M)=\{r\in R\mid Mr=\{0\}\}$.

Sugerencia 1: los submódulos de $M_R$ corresponden a los submódulos de $M_{\overline{R}}$.

Sugerencia 2: La condición de que el ideal maximal $m$ aniquila $M$ dice que $rad(\overline{R})$ es nilpotent.

Pista 3: La Hopkins-Levitzki teorema dice que, en este caso, una $\overline{R}$ módulo es Noetherian iff Artinian.