¿Cómo resumir esta serie? $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1} B_n}{n}$

Question

Me pregunto ¿cuál es la suma de esta serie?

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1} B_n}{n}$$

donde $B_n$ son números de Bernoulli. Wolfram Alpha no ayuda.

P.S. como esta serie diverge me interesa suma generalizada. Mathematica no puede encontrar la suma mediante regularizaciones Abel, Borel, Dirichlet, Cesaro y de Euler.

Answer 1

Con una manipulación puramente formal, $$\frac{1}{e^t-1}-\frac{1}{t}=\sum_{n\geq 1}\frac{B_n}{n!}t^{n-1} \tag{1}$ $ conduce a: %#% $ #% por lo tanto, multiplicando ambos lados por $$\frac{1}{e^{-t}-1}+\frac{1}{t}=\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n-1} B_n}{n!}t^{n-1}\tag{2}$ y integración en $e^{-t}$, $\mathbb{R}^+$ $ pero el lado izquierdo de la $$\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{1}{t e^t}-\frac{1}{e^t-1}\right)\,dt = \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n-1} B_n}{n}\tag{3}$es igual a $(3)$.

Answer 2

Según esta fuente, los números de Bernoulli satisfacen la desigualdad $|B_{2n}| \ge \frac{(2n)!}{(2\pi)^{2n}}$. Esto significa que la secuencia $\frac{B_n}{n}$ es ilimitada y la suma no converge.

Answer 3

La suma no converge porque el término general $B_n/n$ va $+\infty$ en valor absoluto, por la aproximación asintótica aquí.