Si $R$ es una parte integral de dominio (tengo $\mathbb{Z}$ o un campo en la mente) y $G$ a (no necesariamente finita) grupo podemos formar el anillo de grupo $R(G)$.
Tenga en cuenta que si $g^{n+1} = e$$(e-g)(e+g\ldots + g^n) = e - g^{n+1} = 0$. Esto significa si $G$ ha torsión, a continuación, $R(G)$ siempre tiene cero-divisores.
¿Qué acerca de la inversa? Así que si $G$ es de torsión libre hace que implican $R(G)$ no tener cero divisores.
Mediante la incorporación de $R$ en su campo de fracciones, podemos muy bien suponer que los $R$ es un campo. Pero esto es precisamente Kaplansky cero divisor conjetura. Este es un problema difícil, que todavía está abierto (2014). Sólo se ha resuelto para ciertas clases de grupos. Si $R$ tiene características de las $0$, entonces es suficiente para tratar la $R=\mathbb{C}$ y hay métodos analíticos están disponibles. Una referencia es
Passman, Donald S. La estructura algebraica de grupo de los anillos. Pura y Matemática Aplicada. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], Nueva York-Londres-Sydney, 1977.
Para un resumen de los resultados conocidos, consulte MO/79559.
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