Dejemos que $\mathfrak{g}$ sea un álgebra de Lie de dimensión 3 y $[\quad,\quad]$ sea un mapa de rango 1 de $\bigwedge^{2}\mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g}$ . En este caso, el núcleo de $[\quad,\quad]$ es $3 - 1 = 2$ dimensional. ¿Por qué esto significa que para algunos $X \in \mathfrak{g}$ el núcleo está formado por todos los vectores de la forma $X \wedge Y$ con $Y$ que se extienden por todo el $\mathfrak{g}$ ?
Respuesta
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user8268
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Cualquier $X\in\mathfrak{g}$ da una forma lineal en $\wedge^2\mathfrak{g}$ con valores en (1-dimensional) $\wedge^3\mathfrak{g}$ la forma viene dada por $\langle X,\alpha\rangle:=X\wedge\alpha$ . Este mapa lineal $\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}^*\otimes\wedge^3\mathfrak{g}$ tiene $0$ núcleo, por lo que es una biyección. Su núcleo $V\subset\wedge^2\mathfrak{g}$ es bidimensional, su aniquilador en $\mathfrak{g}$ es unidimensional, por lo que hay $0\neq X\in\mathfrak{g}$ s.t. $V=\{\alpha\in\wedge^2\mathfrak{g}; X\wedge\alpha=0\}$ . Ciertamente contiene $W=\{X\wedge Y;Y\in\mathfrak{g}\}$ y como $\dim V=\dim W$ , $V=W$ . (o utilizar el hecho de que el diferencial $X\wedge\cdot$ tiene cohomología evanescente)
