Sobre las raíces del polinomio cúbico

Question

Sea $\alpha, \beta, \gamma$ las raíces complejas del polinomio $P_3(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.

Hay alguna fórmula conocida para calcular $\alpha^2 \beta+\beta^2 \gamma+ \gamma^2\alpha \; , \; ¿\alpha \beta^2+\beta \gamma^2+\gamma\alpha^2$ (en términos de $a,b,c,d$)?

¿Si no, alguien puede obtener?

Answer 1

Que $u=\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha$ y $v=\alpha\beta^2+\beta\gamma^2+\gamma\alpha^2$. Tenemos las siguientes relaciones entre lo polinomios simétricos elementales $e_1$, $e_2$ y $e_3$ $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ y los coeficientes de $P_3$: $$ e_1 = \alpha+\beta+\gamma = - \frac{b}{a} \\ e_2 = \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = + \frac{c}{a} \\ e_3 = \alpha\beta\gamma = - \frac{d}{a} $$ encontramos\begin{eqnarray*} p & := u+v = & e_1e_2-3e_3 \\ q & := uv = & e_1^3e_3-6e_1e_2e_3+e_2^3+9e_3^2 \end{eqnarray *} de este, se puede obtener $u$y $v$ resolver $t^2-pt+q=0$.

Answer 2

Vamos

$$\casos{E(\alpha,\beta\gamma):=\alpha^2 \beta+\beta^2 \gamma+ \gamma^2\alpha\\F(\alpha,\beta\gamma):= \alpha \beta^2+\beta \gamma^2+\gamma\alpha^2}$$

El problema de que, estrictamente hablando, no tiene solución (pero vamos a ver de aquí en adelante que podemos de algún modo "bypass" de este tema):

Aquí es un contraejemplo: Considere el $P_3(x)=x(x^2-1)$ con raíces $\{0,1,-1\}$.

La expresión de $E$ puede tomar dos valores distintos según el orden en el que las raíces se toman : $$E(\alpha,\beta,\gamma)=\begin{cases}-1 \ & \text{if} \ \ \alpha=1,\beta=-1,\gamma=0\\ \ \ \ 1 \ & \text{if} \ \ \alpha=-1,\beta=1,\gamma=0\end{cases}.$$

Como ha dicho en otras respuestas, la razón fundamental es que ni $E$ ni $F$ es simétrica en $\alpha, \beta, \gamma$, por lo tanto no invariante para ciertas permutaciones de las raíces.

Por supuesto, si usted toma el $E+F$, se obtiene un polinomio simétrico en $\alpha, \beta, \gamma.$

Pero un poco más profunda, el análisis va a ser gratificante. De hecho, las expresiones de $E$ $F$ son conjugadas en un sentido que se pondrá de manifiesto, una vez que hemos visto los dos ejemplos siguientes:

• tomando $P_3(x)=x^3+x^2-x$, el valor de $E(\alpha,\beta,\gamma)=\Phi\approx1.618$ se toma 3 veces, y el valor de $1-\Phi\approx-0.618$ es tomado 3 veces ($\Phi$ es la proporción áurea).

• tomando $P_3(x)=x^3+x^2+x$ (con algunas raíces complejas), el valor de $-\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ se toma 3 veces, y conjugar valor (con el significado de "conjugación en $\mathbb{C}$"): $-\frac12-i\frac{\sqrt{3}}{2}$ se toma 3 veces.

Vamos a demostrar esto "conjugación" examinando el conjunto de $S_3$ $3!=6$ permutaciones de las raíces de las $\alpha,\beta,\gamma$:

$$\binom{\alpha \ \beta \ \gamma}{\alpha \ \beta \ \gamma}: \ \ E(\alpha,\beta,\gamma)=E(\alpha,\beta,\gamma)$$

$$\binom{\alpha \ \beta \ \gamma}{\beta \ \gamma \ \alpha}: \ \ E(\beta,\gamma,\alpha)=E(\alpha,\beta,\gamma)$$

$$\binom{\alpha \ \beta \ \gamma}{\gamma \ \alpha \ \beta}: \ \ E(\gamma,\alpha,\beta)=E(\alpha,\beta,\gamma)$$

$$\binom{\alpha \ \beta \ \gamma}{\beta \ \alpha \ \gamma}: \ \ E(\beta,\alpha,\gamma)=F(\alpha,\beta,\gamma)$$

$$\binom{\alpha \ \beta \ \gamma}{\beta \ \gamma \ \alpha}: \ \ E(\beta,\gamma ,\alpha)=F(\alpha,\beta,\gamma)$$

$$\binom{\alpha \ \beta \ \gamma}{\gamma\ \beta \ \alpha}: \ \ E(\alpha,\beta,\gamma)=F(\alpha,\beta,\gamma)$$

Así pues, hemos demostrado que, una vez que una permutación se realiza en las raíces, el valor que toma la $E$ es invariable (3 casos) o es el valor de $F$ (los otros 3 casos). Como dijo @CCorn en su respuesta, es el objeto matemático $\{E,F\}$ que es invariante bajo la acción de $S_3$.

Nota: Los 3 primeros casos corresponden a una permutación circular: es evidente que $E$ ha sido construido de tal manera que es invariante por este tipo de permutación.

Addendum:

Esta es una pequeña ventana sobre el origen de la llamada "teoría de Galois".

Eche un vistazo a la muy pedagógico de la presentación aquí en donde se explica cómo las ideas de Lagrange para resolver la ecuación de cuarto grado donde basada en polinomios (llamado resolvents) que, en virtud de permutación, podría tomar sólo un número muy pequeño de valores. Véase también (https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_function). Otro de referencia (teoría de Galois: la división de campo de la cúbico como espacio vectorial).

Answer 3

No. $a,b,c,d$ son simétricas polinomios en $\alpha,\beta,\gamma$ y por lo tanto invariantes bajo cada permutación de $(\alpha,\beta,\gamma)$. Las expresiones que desea son invariantes bajo ciertas permutaciones, pero no todos, y por lo tanto no puede ser expresado en términos de sólo $a,b,c,d$.

Su suma es simétrica sin embargo, como @DougM la respuesta se indica.

Actualización: Su producto también, y esto resulta en una ecuación cuadrática para las dos expresiones, como @ReinhardMeier la respuesta de la muestra. Por lo tanto, los valores individuales de su deseada (expresiones llamarlos $u$$v$) no están determinados únicamente de $a,b,c,d$, pero el conjunto de $\{u,v\}$ es.

Answer 4

$\frac {b} {a} = - \alpha - \beta - \gamma\\ \frac {c} {un} = \alpha \beta + \beta\gamma + \gamma\alpha\\ \frac {d} {un} = - \alpha \beta\gamma\\-\frac {b} {a} \frac {c} {un} + 3\frac {d} {un} = (\alpha^2 \beta + \beta^2\gamma + \gamma^2\alpha)+ (\alpha \beta^2 + \beta\gamma^2 + \gamma\alpha^2)$

No sé si puedo hacer mucho más eso.

Answer 5

No puede haber ninguna tal fórmula. El % de coeficientes $a$, $b$, $c$ y $d$ son funciones simétricas de la raíces $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$. Su % de polinomios $\alpha^2 \beta+\beta^2 \gamma+ \gamma^2\alpha$y $\alpha \beta^2+\beta \gamma^2+\gamma\alpha^2$ no son funciones simétricas, por lo que no se pueden expresar como funciones de los coeficientes (ya que tal función sería simétrica).