Cociente de polinomios, PID, pero no Euclidiana de dominio?

Question

Mientras que tratando de buscar ejemplos de Pid que no Euclidiana dominios, me encontré con una declaración (sin referencia) en el dominio Euclídeo página de Wikipedia que

$$\mathbb{R}[X,Y]/(X^2+Y^2+1)$$

es un anillo. Después de una buena parte de la búsqueda, no he sido capaz de encontrar ninguna otra referencia (en línea) a este anillo.

¿Alguien puede confirmar este resultado? Hay una referencia a ella (papel, el libro de texto o sitio web)?

Answer 1

En el P. Samuel, Anneaux factoriels, páginas 36-37, se ha demostrado que la $A=\mathbb R[X,Y]/(X^2+Y^2+1)$ es un UFD.

En el siguiente denotamos por a $x,y$ el residuo clases de $X,Y$ modulo $(X^2+Y^2+1)$. Por lo tanto $A=\mathbb R[x,y]$$x^2+y^2+1=0$.

Lema. El primer ideales de $A$ son de la forma$(ax+by+c)$$(a,b)\neq (0,0)$.

Prueba. No es difícil ver que estos elementos son los principales: si $p=ax+by+c$$(a,b)\neq (0,0)$,$A/pA\simeq\mathbb C$.
Por otro lado, vamos a $\mathfrak p$ ser un no-cero el primer ideal de $A$. Desde $\dim A=1$ necesariamente $\mathfrak p$ es máxima, por lo $A/\mathfrak p$ es un campo. Es suficiente para demostrar que $\mathfrak p$ contiene un elemento de la forma$ax+by+c$$(a,b)\neq (0,0)$. Tenga en cuenta que $A/\mathfrak p=\mathbb R[\hat x,\hat y]$ $\hat x,\hat y$ son algebraicos sobre $\mathbb R$. Así pues, tenemos una expresión algebraica de extensión de campo $\mathbb R\subset A/\mathfrak p$, y por lo tanto $[A/\mathfrak p:\mathbb R]\le2$. En particular, los elementos $\hat 1,\hat x,\hat y$ $A/\mathfrak p$ son linealmente dependientes sobre $\mathbb R$.

Deje $S\subset A$ ser el multiplicativo conjunto generado por todos los elementos principales $ax+by+c$$(a,b)\neq (0,0)$. El anillo de fracciones de $S^{-1}A$ no tiene distinto de cero el primer ideales, y por lo tanto $S^{-1}A$ es un campo, por lo tanto, una unidad flash usb. Ahora podemos aplicar Nagata del criterio de factoriality a la conclusión de que la $A$ es un UFD.

Es fácil ver que $A$ también un PID (uso este resultado.)

Vamos a demostrar que $A$ no es Euclidiana.

Lema. Deje $A$ ser un dominio Euclídeo. Entonces no es $p\in A-\{0\}$ primer tales que $\pi(A^{\times})=(A/pA)^{\times}$ donde $\pi:A\to A/pA$ es la canónica surjection.

Prueba. Si uno considera $p$ un valor distinto de cero, no es invertible elemento con $\delta(p)$ mínimo (aquí $\delta$ es un algoritmo de Euclides), a continuación, $p$ es primo y por $\hat a\in A/pA$ invertible no es $u\in A$ invertible tal que $u-a\in pA$ (escribir $a=px+u$ $\delta(u)<\delta(p)$ y el aviso de que $u$ no $0$ - aquí uno de los usos que se $\hat a$ es invertible, y necesariamente invertible), que es, $\pi(A^{\times})=(A/pA)^{\times}$.

En nuestro caso $A^{\times}=\mathbb R^{\times}$. Desde $A/pA\simeq\mathbb C$ para cualquier prime $p\in A$,$(A/pA)^{\times}\simeq\mathbb C^{\times}$. Si asumimos que el $A$ es la Euclídea, entonces tenemos una surjective grupo homomorphism $\mathbb R^{\times}\to\mathbb C^{\times}$ que también es inyectiva (ver @zcn comentario de abajo), una contradicción.

Answer 2

Aquí hay algunos detalles más para aquellos que, como yo, no están tan familiarizados con este material.

$1$) Toma un valor distinto de cero el primer ideal. Queremos mostrar que es maximal. Contiene un primer elemento (ya que estamos en un disco flash usb, seleccione un elemento con un menor factorización). Tome este ser $ax+by+c$. Vamos a mostrar que el ideal es máxima al demostrar que el cociente del anillo por este ideal es un campo.

Usando la relación $ax+by+c=0$ podemos expresar cualquier elemento como un polinomio en $x$ con coeficientes en $\mathbb{R}$. Con la relación cuadrática que podemos hacer de esta una expresión lineal. En la búsqueda de un inversa se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas, y el determinante de la matriz correspondiente es distinto de cero.

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$2$) Distinto de cero, no es invertible elementos existentes, porque de lo contrario estaríamos en un campo y no estaría tratando de demostrar que el lema en el primer lugar.

$3$) Supongamos $p$ no es primo. Entonces no existe $a$ $b$ tal que $p\mid ab$ pero $p\nmid a$$p\nmid b$. Escribir $a=q_a p+r_a$$\delta(r_a)<\delta(p)$. A continuación, $r_a$ es invertible, con inverse $s_a$. Del mismo modo, hemos $q_b$, $r_b$, $s_b$.

A continuación,$ab=q_a (q_b p+r_b)p +q_b r_a p +r_b r_a$, lo $p\mid r_a r_b$. A continuación,$p\mid r_a s_a r_b s_b =1$, una contradicción.

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$4$) $A^{\times}=\mathbb{R}^{\times}$ sigue debido a que cada elemento de a $A$ puede ser únicamente representado como $p(y)+x q(y)$ para los polinomios de $p$$q$.

$5$ )$1$) Sabemos que cada elemento de a $A/pA$ puede ser expresado como una expresión lineal en $x$, y tenemos una relación $x^2(a^2+b^2)+2acx+c^2+1=0$. Las raíces de este no son reales, por lo que mediante el envío de $x$ a uno de ellos, podemos definir un isomorfismo a $\mathbb{C}$.

$6$) De la proyección homomorphism es inyectiva porque tener un elemento invertible en a $pA$ mostraría que $p$ también es invertible.

$7$) $\mathbb{R}^{\times}$ y $\mathbb{C}^{\times}$ son no isomorfos porque $\mathbb{C}^{\times}$ orden $4$ elementos, mientras que $\mathbb{R}^{\times}$ no (ver vinculadas pregunta).