¿Puede$f :(\Bbb R, +) \to (\Bbb R, +)$ ser un homomorfismo?

Question

PREGUNTA : ¿Existe un homomorfismo

ps

Que no tiene la forma$$f :(\Bbb R, +) \to (\Bbb R, +)$, donde$x \mapsto ax$?

Answer 1

Sí, usando el axioma de elección. El grupo abeliano$\mathbb R$ es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre el campo$\mathbb Q$. Unfortuately, no se puede dar una base explícita de este espacio vectorial, pero el mapa lineal de "intercambio" dos de los vectores de base, digamos, es un automorfismo no trivial de$\mathbb R$ como grupo abeliano que no es de la forma% Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org