Hipótesis de Riemann y la función de recuento primario

Question

Este artículo sobre la función de recuento de primos menciona que la Hipótesis de Riemann es equivalente a la sentencia $$ | \ pi (x) - \ rm {li} (x) | \ le \ frac {1} {8 \ pi} \ sqrt { X} \ text {for all} x \ geq 2657 $$ Mi pregunta es, ¿es esta una declaración if y only if (es decir, si se probó que la otra seguiría)?

Además, ¿cómo llegó este número$2657 $?

Answer 1

Cualquier enlazado $|\pi(x)-\rm {li}(x)|\le f(x)$ $f(x)=O(x^{1/2 + \epsilon})$ implica que la hipótesis de Riemann, y RH es equivalente a la existencia de un enlace de ese tipo. El punto de este particular $f(x)$ es que es conocido por ser comprobable a partir de la hipótesis de Riemann, y los parámetros de la prueba se han trabajado de manera explícita (y podrían ser algunos de los mejores disponibles en la actualidad), por lo que el resultado final no es " $f(x) = A\sqrt{x}(\log x)^B$ $x > C$ algunos $A,B$$C$", pero $A = \frac{1}{8 \pi}$, $B=1$, $C = 2657$. El $O()$ la notación significa que el límite de$\frac{\log f(x)}{\log x}$$1/2$; si el límite había sido $\rho \in [\frac{1}{2},1]$ el (no trivial) los ceros de la de Riemann zeta habría de piezas reales en el intervalo de $[1 - \rho, \rho]$. El mismo límite con cualquier otro de los valores de $A,B,C$ también habría sido equivalente a RH.

$C$ puede ser eliminado por inflar $A$ a cubrir la primera $2656$ de los casos y, a continuación, uno podría obtener un enlace válido para todos los $x \geq 1$. Esto sería menos informativo, porque lo importante es minimizar el exponente $B$ del logaritmo (que está relacionado con la distribución vertical de los ceros), entonces la constante de $A$ (que mide algún aspecto más fino del cero de distribución, pero no sé si se ha articulado lo que es). La corte de $C$ es mucho menos importante, porque no es un asintótica, grande-$x$, la cantidad, y puede ser afectado por el movimiento de un solo cero a lo largo de la línea crítica.

Answer 2

La prueba por L. Schoenfeld muestra donde estos números $x_0$ forma las declaraciones con $x\ge x_0$ provienen. Tenemos $x\ge 2657$ $6.18$ de Corolario $1$ en la página $339$. Esto viene a partir de $$ |\theta(x)-x|\le \frac{1}{8\pi}\sqrt{x}\log(x)^2, x\ge x_0=599, $$ y $x_0=559$ viene de la prueba en $(6.3)$. Para ser honesto, no es fácil seguir la pista de las constantes $x_0$, que verá la lectura de este documento. La idea es, que la afirmación es verdadera para todos los $x\ge x_0$, y un explícito de la computación (si tienes suerte) puede mostrar que un valor explícito para $x_0$ es posible.