Esto puede sonar como una pregunta estúpida, pero me pregunto cómo la gente originalmente calculó valores específicos para las funciones trigonométricas antes de que las calculadoras existieran. ¿Acaban de dibujar círculos y medir manualmente las proporciones, o hubo algún método más inteligente que podrían usar?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Yo tendría que decir que todo lo que usted necesita es calcular seno o coseno y usted puede obtener todas las demás funciones trigonométricas.
$$\sin(x)=\cos(x-\frac{\pi}2)$$
Así que usted puede conseguir seno de coseno y viceversa.
Usted puede hacer uso de el hecho de que las funciones trigonométricas son periódicas.
$$\sin(x)=\sin(x\pm2\pi n),n=0,1,2,3,\dots$$
Por último, en radianes, se puede usar una expansión en series de Taylor:
$$\sin(x)=\frac{x^1}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots$$
Y con la aproximación de ángulos pequeños, donde$x\approx0$,$\sin(x)=\frac{x^1}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+O(x^7)$, donde el error es representado en la $x^7$th plazo.
Si usted necesita para aumentar la precisión, a la derecha fuera de la Serie de Taylor para hacerla más larga. Preferiblemente, calcular el $x$ cerca de los valores de $0$ y obtener todos los demás valores utilizando funciones trigonométricas período de $2\pi$.
Andy
Puntos
21
En Cómo calculadoras hacer trigonometría presento un programa que calcula una aproximación cercana a $\sin(x)$ usando la serie de Taylor alrededor de $x=0$. Yo también uso algunas identidades trigonométricas para reducir el correspondiente dominio, de forma que podemos elegir un truncamiento que no dependen de $x$. Este procedimiento puede ser hecho a mano: una vez que los coeficientes son tabulados, se tarda unos 20 adiciones y multiplicaciones para obtener un resultado fuera de este. En una mano de cálculo, probablemente menos precisión sería necesario, por lo menos podrían ser utilizados. (Por ejemplo, $x-x^3/6+x^5/120$ da cuatro correcto de dígitos $\sin(x)$ al $x$ entre $0$$\pi/4$, mientras que $1-x^2/2+x^4/24$ da cuatro correcto de dígitos $\cos(x)$ al $x$ entre $0$$\pi/4$.)
Sin embargo, como les comente en Cómo iba a reducir el error de redondeo en el "mod" cuando la aplicación de una función periódica? este enfoque tiene un problema: el "mod" operación tiene un gran error numérico cuando el dividendo es grande. Como resultado, mi programa no da correcto de dígitos con una entrada de $10^{16}$, y en realidad siempre devuelve cero una vez que la entrada es mayor que $10^{19}$ o así. Esto puede ser aliviado, pero realmente no es corregido por la elevación de la precisión de la mod de cálculo y, a continuación, haciendo el resto del cálculo de vuelta en el menor precisión. Pero, a continuación, usted sólo puede hacer que el argumento más para romper de nuevo. Para hacer que las cosas funcionen, no importa lo que usted pone en, la necesidad de técnicas más sofisticadas, usted puede buscar en "funciones periódicas grandes argumentos" para buscar artículos sobre el tema. Uno se puede encontrar en http://www.csee.umbc.edu/~phatak/645/supl/Ng-ArgReduction.pdf
Uno de los métodos utilizados por el "mundo real" de los programas es en un espíritu similar, pero utiliza una aproximación cuyo error es más uniforme. Esto tiende a guardar el trabajo, porque mi enfoque utiliza el mismo número de términos independientemente de la entrada, aunque el método es mucho más preciso, decir, cerca de $0$ que es cerca de $\pi/2$.
