¿La serie $\sum\frac{a_n}{a_{n+1}}\frac{1}{n}$ siempre divergen si $0<a_n<1$ ?

Question

¿La serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}\frac{1}{n}$$ divergen para cualquier $a_n$ , satisfaciendo $0<a_n<1$ , $n=1, 2, 3\dots$ ?

Answer 1

Para cada $n$ , dejemos que $b_n\in (-\infty,0)$ tal que $\exp(b_n)=a_n$ . Por convexidad de la función exponencial en $\mathbb R$ , $$\tag{1}\exp\left(\frac 1M\sum_{j=1}^M(b_j-b_{j+1})\right)\leqslant \frac 1M\sum_{j=1}^M\exp(b_j-b_{j+1})=\frac 1M\sum_{j=1}^M\frac{a_j}{a_{j+1}}.$$ Supongamos que $\sum_{j=1}^\infty\frac{a_j}{a_{j+1}}\frac 1j$ es convergente. Ya que para cada $N\leqslant M$ , $$\frac 1M\sum_{j=1}^M\frac{a_j}{a_{j+1}}\leqslant \frac 1M\sum_{j=1}^N\frac{a_j}{a_{j+1}}+\sum_{j=N}^M\frac{a_j}{a_{j+1}}\underbrace{\frac 1M}_{\leqslant \frac 1j}\leqslant\frac 1M\sum_{j=1}^N\frac{a_j}{a_{j+1}}+\sum_{j=N}^M\frac{a_j}{a_{j+1}}\frac 1j,$$ obtenemos que $$\limsup_{M\to +\infty}\frac 1M\sum_{j=1}^M\frac{a_j}{a_{j+1}}\leqslant\sum_{j=N}^\infty\frac{a_j}{a_{j+1}}\frac 1j,$$ por lo tanto, por (1), $$\lim_{M\to +\infty}\exp\left(\frac 1M\sum_{j=1}^M(b_j-b_{j+1})\right)=0.$$ Desde $\sum_{j=1}^M(b_j-b_{j+1})=b_1-b_{M+1}$ se deduce que $$\lim_{M\to +\infty}\exp(-b_{M+1}/M)=0$$ lo que no es posible porque cada $b_M$ es negativo.

El argumento se reduciría si hubiéramos considerado $\sum_{n=1}^\infty\frac{a_{n+1}}{na_n}$ y en este caso la serie puede converger, por ejemplo con $a_n:=2^{-n^2}$ .