Aquí planteo un problema, que mis alumnos principiantes de álgebra estuvieron discutiendo durante mucho tiempo.
Pregunta: Sin utilizar el teorema de Cauchy o de Sylow, ¿podemos demostrar que un grupo de orden $15$ contiene elementos de orden $3$ y $5$ ?
Aquí se puede utilizar el teorema de Lagrange.
Conozco la solución utilizando el teorema de Cauchy. Pero estas cosas aún no las he enseñado en la clase.
Dados dos subgrupos distintos de orden $5$ $H$ y $K$ , $H \cap K = \{e\}$ (porque de lo contrario el elemento en común los generaría a ambos).
Por lo tanto, si todos los elementos excepto $1$ tener orden $5$ el número de elementos del grupo debe ser $4n + 1$ que $15$ no lo es.
Eso significa que debe haber un elemento de orden $3$ .
Supongamos ahora que todos los elementos tienen orden 3. De nuevo, por el mismo razonamiento el número de elementos del grupo debe ser de la forma $2n + 1$ . Así que hay $n = 7$ subgrupos de orden $3$ . No puedo llegar más lejos.
Para terminar tu respuesta, utiliza la ecuación de la clase para demostrar que $G$ tiene centro no trivial, por lo que $G/Z(G)$ tiene orden $5$ o $1$ . Pero entonces la imagen de cualquier elemento en $G/Z(G)$ es trivial (porque la imagen tiene orden $3$ o $1$ ), por lo que $G/Z(G)$ es trivial y $G$ es abeliana. Cuando $G$ es abeliana la afirmación es fácil. Por supuesto, con la misma cantidad de trabajo podríamos demostrar el teorema de Cauchy
Suponemos que el grupo no es cíclico. Si genera $G$ hemos terminado. Si no, por Lagrange tiene orden $3$ o $5$ . Si el pedido es $5$ entonces deja que $C$ sea el grupo generado por $g$ . Dado que el índice de $C$ es $3$ y $3$ es el primo más pequeño que divide a $|G|$ concluimos que $C$ es normal y por eso tomamos $G\rightarrow \frac{G}{C}$ el isomorfismo natural $\varphi$ . Tomamos un generador de $\frac{G}{C}$ y considera su preimagen. Llama a esta preimagen $h$ y el subgrupo generado por ella $H$ . Desde $H$ mapas a todos los $\frac{G}{C}$ aplicamos el primer teorema del isomorfismo a la restricción del isomorfismo natural a $H$ y así $\frac{H}{ker(\varphi|_H)}\cong\frac{G}{C}$ . Esto nos indica el orden de $H$ es un múltiplo de $3$ y como $H$ no es cíclico, esto significa que el orden de $H$ es $3$ .
Así que si hay un elemento de orden $5$ hay un elemento de orden $3$ .
No estoy seguro de cómo probarlo al revés.
Si todos los elementos $g\ne e$ tener orden $5$ entonces el tamaño del grupo debe ser de la forma $4n +1$ de los cuales $15$ no lo es. No es necesario invocar la normalidad.
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El orden del elemento divide el orden del grupo
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Elige un elemento de tu grupo. Demuestra que el conjunto generado por este elemento es un subgrupo del grupo y aplica Lagrange.
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Esto mostrará que los elementos tendrán orden 3,5,o 15. Supongamos que todos los elementos (excepto el 1) tienen orden 3. Debería llegar a una contradicción. Pero no podría seguir adelante.
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La acción de $G$ en sus subgrupos de orden 3 nos da un subgrupo de $S_7$ donde todos los elementos no triviales tienen el aspecto de $(1\,2\,3)(4\,5\,6)$ (dos puntos fijos significarían que $G$ tiene un subgrupo de orden $9\nmid 15$ ). "Por supuesto" el producto de permutaciones de este tipo de ciclo no es de nuevo de este tipo, pero no veo cómo demostrarlo sin gazapos de distintivos de caso.
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@HagenvonEitzen Puede ser más fácil utilizar la acción por multiplicación sobre los cosets de la izquierda de un subgrupo de orden $3$ . Entonces las imágenes no triviales deben ser simples $3$ -y rápidamente se encuentra que tiene dos permutaciones como $(1,2,3),(1,2,4)$ o $(1,2,3),(1,4,5)$ que se pueden mezclar para obtener permutaciones que no tienen orden $3$ . No estoy seguro de que este ejercicio merezca la pena, ¡podría ser más fácil aprender el teorema de Cauchy!