Estoy tratando de mostrar que $x^3-21x+35$ tiene el grupo de Galois $Z_3$$\mathbb Q$. Comencé tomando $\alpha$ a raíz de. Suponiendo por el momento que el polinomio es irreducible, es entonces suficiente si puedo demostrar que un polinomio en $\alpha$ también satisface este polinomio. La pregunta da una pista de que si $\alpha$ es una raíz, entonces también lo es $\alpha^2+2\alpha-14$. Una vez que me ve, entonces, dado que la suma de las raíces es de 0, he que todas las raíces están en $\mathbb Q(\alpha)$ y desde el polinomio tiene grado 3, el grupo de Galois es de orden 3 y así está hecho. El verdadero problema es ¿cómo puedo mostrar $\alpha^2+2\alpha-14$ es una raíz. El método de la fuerza bruta (sólo enchufarlo) es excesivamente complicado. Alguien puede proporcionarme una manera simple de hacer esto? Quiero decir, incluso si realmente necesita para conectar y calcular, es allí una manera eficiente de hacerlo?
Respuesta
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Usted tiene un polinomio irreducible $P(x) = x^3-21x+35 = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$
de modo que $0x^2 = (-\alpha-\beta-\gamma)x^2$$ \beta+\gamma=-\alpha$.
El discriminante de $P(x) = x^3+bx+c$ $$\Delta = (\alpha-\beta)^2(\alpha-\gamma)^2(\beta-\gamma)^2=-4b^3-27c^2=4.21^3-27.35^2=63^2$$
También se $P'(x) = 3x^2-21=(x-\beta)(x-\gamma)+(x-\alpha)(x-\gamma)+(x-\alpha)(x-\beta)$, de modo que $$P'(\alpha) = (\alpha-\beta)(\alpha-\gamma) \qquad \text{and}\qquad (\beta-\gamma)P'(\alpha) = \Delta^{1/2}=63$$
$\Delta \ne 0$ significa que no hay ningún doble de la raíz, de modo que $gcd(P(x),P'(x)) = 1$ y no existe $U,V$ tal que $PU+P'V = 1$. El algoritmo de Euclides da $V(x) = \frac{2}{63}x^2 + \frac{5}{63}x - \frac{4}{9}$
Tiene un campo de isomorfismo $\varphi:\mathbb{Q}[x]/(P)\to \mathbb{Q}(\alpha) $$\varphi(f) = f(\alpha)$. Desde $ P' V= 1$ $\mathbb{Q}[x]/(P)$ significa $ \frac{1}{P'(\alpha)}=V(\alpha)=\frac{2}{63}\alpha^2 + \frac{5}{63}\alpha - \frac{4}{9}$ es decir $$\beta-\gamma = \frac{\Delta^{1/2}}{P'(\alpha)} =\Delta^{1/2}V(\alpha)= 2\alpha^2 + 5\alpha - 28$$
y $$\boxed{\beta = \frac{1}{2}(\Delta^{1/2}V(\alpha) - \alpha)=\alpha^2 + 2\alpha - 14, \qquad \gamma = -\alpha-\beta=-\alpha^2 -3\alpha + 14}$$ y, por tanto, $\mathbb{Q}(\alpha) \simeq \mathbb{Q}(\beta) \simeq \mathbb{Q}(\gamma)$ $Gal(\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q})=\mathbb{Z}_3$
Para cualquier polinomio irreducible de grado $3$, la comprobación de si $\Delta^{1/2} \in \mathbb{Q}$ (más en general, si $\Delta^{1/2} \in\mathbb{Q}(\alpha)$) es un paso fundamental. Y si $P$ no es irreducible, usted tendrá algunos problemas, pero no estoy seguro de dónde.
