Estructura mixta de Hodge con ejemplos

Question

La estructura de Hodge proporciona una descomposición de la cohomología de las variedades compactas de Kahler. La estructura de Hodge mixta proporciona una generalización de modo que la filtración de Hodge en cada componente graduada (correspondiente a la filtración de pesos) da una estructura de Hodge.

1) Quiero ver algunos ejemplos de estructura mixta de Hodge en la cohomología de algunos espacios.

2) ¿Qué queremos decir con que la estructura mixta de Hodge sobre $H^i(X)$ no es puro?

Gracias

Answer 1

Ver el libro aquí de James Carlson, Stefan Müller-Stach y Chris Peters, especialmente el primer capítulo.

Carlson, James; Müller-Stach, Stefan; Peters, Chris. Mapeos de períodos y dominios de períodos. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 85. Cambridge University Press , Cambridge , 2003. xvi+430 pp.

En él hay varios ejemplos concretos de estructura mixta de Hodge.

La respuesta corta es ésta. No es tanto la estructura de Hodge la que se mezcla, sino los pesos que juegan un papel. Para una variedad proyectiva lisa $X$ , $H^k(X)$ tiene un peso puro $k$ La estructura de Hodge. Pero si $X$ ya no es compacta o suave esto no tiene por qué ser cierto.

Un ejemplo sencillo: $\mathbb{C}^\times $ (plano complejo privado de origen), $H^1 = \mathbb{Z}$ pero su peso no puede ser uno (de ser así, tendría que tener un rango par). De hecho, la estructura mixta de Hodge de Deligne es pura de peso $2$ en este caso. Para curvas perforadas más complicadas, como un toro perforado, se obtiene una estructura de Hodge mixta en $H^1$ con $H^2 = W_2 \supset W_1$ . Entonces $W_1$ proviene de la curva compacta y $W_2/W_1$ de los pinchazos.

Del mismo modo, cuando se tiene una curva singular, $H^1$ tiene pesos $0$ y $1$ con $W_0$ procedentes de las singularidades y $W_1/W_0$ de la desingularización. Pero si la desingularización es una curva racional, esta pieza falta, y la estructura de Hodge es pura de peso $0$ .

En estos dos casos, si la filtración del peso tiene $2$ pasos o más con gradaciones no triviales, la estructura de Hodge no es pura. Pero aún se puede tener una estructura de Hodge pura en la cohomología de una variedad singular o no compacta, como se ha demostrado anteriormente.