¿Por qué una función exponencial doble es más rápida que $x!$ ?

Question

Leer este artículo de la wikipedia He encontrado una frase interesante:

Los factoriales crecen más rápido que las funciones exponenciales, pero mucho más lento que las funciones doblemente exponenciales.

El autor no proporciona un enlace y mucho menos una prueba de ese hecho y no me parece evidente. Después de todo, las funciones factoriales crecen muy rápido pero el autor dice que crecen mucho más lentos que los exponenciales dobles. ¿Alguien conoce una prueba de que

$$\lim_{x \to \infty} \frac{e^{e^{x}}}{x!} = \infty$$

Answer 1

La simple comparación de los factores muestra que $$ n!=\prod_{k=1}^nk\le\prod_{k=1}^nn =n^n\tag{1} $$ Desde $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\left(e^n-n\log(n)\right) &=\lim_{n\to\infty}e^n\left(1-\frac{n\log(n)}{e^n}\right)\\[6pt] &=\infty\cdot1\tag{2} \end{align} $$ tenemos $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{e^{e^n}}{n^n} &=\lim_{n\to\infty}e^{e^n-n\log(n)}\\[6pt] &=\infty\tag{3} \end{align} $$ Aplicando $(1)$ a $(3)$ da $$ \lim_{n\to\infty}\frac{e^{e^n}}{n!}=\infty\tag{4} $$

Answer 2

No necesitas a Stirling para eso. Es mucho más básico:

Dejemos que $a_n := \frac{e^{e^n}}{n!}$ . Entonces $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{e^{e^{n}e}}{e^{e^n}(n+1)} =\frac{1}{n+1}\frac{(e^{e^n})^e}{e^{e^n}} = \frac{1}{n+1}(e^{e^n})^{e-1} \geq \frac{e^{n(e-1)}}{n+1}$$ Ahora sólo tienes que saber que $\exp$ crece mucho más rápido que cada polinomio. Esto hace que incluso $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ crece muy rápido.

Answer 3

La fórmula de Stirling da $\ln(x!)$ se trata de $x \ln(x) - x$ para grandes $x$ así que $$ \ln\left(\frac{e^{e^x}}{x!}\right) = e^x - \ln(x!) \approx e^x - x \ln(x) + x \to \infty $$