¿Cómo encontrar la derivada de una función definida por una integral? A saber,$f(y)=\int_0^{y^2} e^{-x^2y^2}dx$

Question

Encuentre en cada punto de su dominio la derivada de la función$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$$f(y)=\int_0^{y^2} e^{-x^2y^2}dx$ $

ps

¿Es el dominio de la función$$$ debido al exponencial?

¿Tengo que establecer$\mathbb{R}$ y luego usar$f(y)=h(y^2)$ $

¿O hay otra manera de encontrar la derivada?

Answer 1

Sustituto $u=xy \Rightarrow du=ydx \Rightarrow dx=\frac{du}y$.

$$ f(y)=\int_0^{y^2} e^{-x^2y^2}dx = \int_0^{y^3} e^{-u^2}\frac{du}y = \frac 1y \int_0^{y^3} e^{-u^2}du $$ Ahora supongamos que tenemos la anti-derivada: $$F(u):=\int_0^u e^{-u^2}du$$ Entonces: $$F'(u)=e^{-u^2} \tag{1}$$ y: $$ f(y)=\frac 1y \int_0^{y^3} e^{-u^2}du =\frac 1y \left(F(y^3)-F(0)\right)\etiqueta{2} $$

Ahora estamos listos para tomar la derivada: $$ f'(y) = -\frac{1}{y^2}\left(F(y^3)-F(0)\right) + \frac 1y\left(F'(y^3)\cdot 3y^2\right) $$ Y cuando se sustituye $(1)$$(2)$, obtenemos: $$ f'(y) = -\frac{1}{y}f(y) + \frac 1y\left(e^{-(y^3)^2}\cdot 3y^2\right) = -\frac{f(y)} de{y} +3y e^{-y^6} $$

Answer 2

El dominio de $f$ es el conjunto de puntos de $y$ tal que $\displaystyle \int \limits_0^{y^2}e^{-x^2y^2}\mathrm dx$ existe.

Para cualquier fija $y$, la función de $x\mapsto e^{-x^2y^2}$ es es integrable en cualquier intervalo de la forma $[a,b]$ - porque es continuo allí - (de hecho es integrable en a $\mathbb R$, pero eso no importa para el propósito de este problema), en particular, es integrable en a $[0,b]$ todos los $b\in \mathbb R$ y particularizing además, es integrable en a$[0,y^2]$, $\displaystyle \int \limits_0^{y^2}e^{-x^2y^2}\mathrm dx$ tiene sentido.

Por lo tanto,$\text{dom}(f)=\mathbb R$.

Un ejemplo en el que las cosas no funcionan tan bien que es, por ejemplo, $\displaystyle g(y)=\int \limits _0^{y}y\sqrt x\,\mathrm dx$. Aunque la raíz cuadrada no afecta a $y$, el dominio de esta función no puede incluir los valores negativos debido a que para cualquier fija $y$, la función de $x\mapsto y\sqrt x$ no está definida para valores negativos de $x$, no se puede integrar, por ejemplo, $[-1,0]$, es decir, $\displaystyle \int \limits _0^{-1}-\sqrt x\,\mathrm dx$ no tiene sentido.

La segunda parte del problema puede ser resuelto con la diferenciación bajo el signo integral.

Answer 3

Sugerencia: Utilizar la regla integral leibnitz

$\frac{d}{dy}\ (\int_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx)=f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y)+\int_{a(y)}^{b(y)}f_y(x,y)dx$

Answer 4

Deja$z=f(y)$ y$u=y^2$, así que$\displaystyle z=\int_{0}^{u} e^{-x^2y^2} dx$.

Por la regla de cadena,$\displaystyle\frac{dz}{dy}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{du}{dy}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dy}$ donde

$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial u}=e^{-u^2y^2}$ Y$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=\int_{0}^{u}\frac{\partial}{\partial y}(e^{-x^2y^2})dx$ por la Regla Integral de Leibniz.