¿Qué tipo de "objeto matemático" son los límites?

Question

Cuando aprendo matemáticas tiendo a intentar reducir todos los conceptos que encuentro a alguna forma de interacción entre conjuntos y funciones (o si es necesario la relación más general) en ellos. Posiblemente con algunos axiomas adicionales lanzados aquí y allá si es necesario, pero la idea fundamental es la de agregar estructura adicional en conjuntos y relaciones entre ellos.

Recientemente he intentado aplicar esta vista al cálculo y he estado encontrando algunas confusiones. Lo más importante es que no estoy seguro de cómo interpretar los Límites. He considerado verlos como una función que toma 3 argumentos, una función, el dominio de la función y algún valor (el "valor de aproximación") y luego produce un valor único.

Sin embargo, esta vista de "función límite" requiere definir la función límite sobre algo distinto a los Reales o los Complejos debido a la noción de ciertas entradas y salidas siendo "infinito". Esto me hace sentir incómodo y cuestionar si mi enfoque actual de las matemáticas es realmente tan elegante como pensaba. ¿Es este un enfoque razonable para responder la pregunta de qué son los límites en un sentido matemático general? ¿Cómo suelen categorizar los matemáticos los límites con el resto de las matemáticas?

Answer 1

¿Por casualidad tienes formación en informática? Tu idea de reducir todo (incluso operaciones como límites) a funciones y conjuntos tiene un sabor a querer que las matemáticas funcionen más o menos como un lenguaje de programación -- este es un sabor que yo (siendo científico de la computación) apruebo bastante, pero debes ser consciente de que el ideal no está exactamente alineado con la forma en que los matemáticos reales escriben matemáticas.

Primero, aunque todo puede reducirse a conjuntos y funciones -- de hecho, todo se puede reducir solo a conjuntos, siendo las funciones simplemente conjuntos de una forma particular -- hacerlo no es necesariamente una buena forma de pensar sobre todo todo el tiempo. Reducir todo a la teoría de conjuntos es el "lenguaje ensamblador" de las matemáticas, y si bien ciertamente te convertirá en un mejor matemático saber cómo funciona esta reducción, no es el nivel de abstracción en el que querrás trabajar la mayor parte del tiempo en tu día a día.

En contraste con la teoría de conjuntos a nivel de "ensamblador" sin tipo, el lenguaje simbólico cotidiano de las matemáticas es un lenguaje altamente tipado. Los "tipos" en su mayoría se dejan implícitos en la escritura (lo cual puede ser frustrante para los estudiantes cuyo temperamento se inclina más hacia la escritura explícita de la mayoría de los lenguajes de programación tipados), pero son supremamente importantes en la práctica -- casi cada notación en matemáticas tiene decenas o cientos de diferentes significados, entre los cuales el lector debe elegir en función de cuáles son los tipos de sus diversas subexpresiones. (Piensa en la "utilización desenfrenada de la sobrecarga" desde una perspectiva de lenguaje de programación). En su mayoría, todos estamos entrenados para hacer esta desambiguación de forma inconsciente.

En la mayoría de los casos, por supuesto, los diversos significados de un símbolo son generalizaciones entre sí en diversos grados. Esto hace que sea una mala idea en particular entrenarse para pensar en el símbolo como denotando este o aquel función en particular con tales y tales argumentos y resultado. Una comprensión menos precisa de la intención detrás del símbolo a menudo facilitará adivinar qué definición se está utilizando en un nuevo contexto, lo que hace que sea más fácil aprender nuevo material (a pesar de que el trabajo de prueba real, por supuesto, debe basarse en definiciones exactas y explícitas).

En particular, incluso al restringir nuestra atención al análisis real, los varios tipos de límites (para $x\to a$, $x\to \infty$, límites laterales, etc.) se notan todos con los mismos símbolos $\lim$, pero técnicamente son cosas diferentes. Ver $\lim_{x\to 5}f(x)$ y $\lim_{x\to\infty} f(x)$ como instancias de la misma función conjunta de "límite" es técnicamente posible, pero también torpe y (más importante aún) ni siquiera especialmente esclarecedor. Es mejor pensar en los varios límites como un grupo laxo de conceptos intuitivamente similares pero técnicamente separados.

Esto no quiere decir que no haya matemáticas interesantes que se puedan hacer estudiando formas en las que la similitud intuitiva entre los diferentes tipos de límites se pueda formalizar, produciendo alguna noción general de límite que tenga a los límites ordinarios como casos especiales. (Una solución aquí es decir que el subíndice "$x\to \cdots$" nombra una variable a ligar mientras también denota una red para hacer el límite). Todo lo que estoy diciendo es que tal concepto general de súper-límite no es algo en lo que debas pensar al hacer análisis real ordinario.

Finalmente (sin relación con tu pregunta sobre límites), nota que el lenguaje matemático habitual hace un uso extensivo de tipos abstractos. Los reales mismos son un buen ejemplo: es posible dar una construcción explícita de los números reales en términos de conjuntos y funciones (y todo estudiante de matemáticas merece saber cómo), pero en el razonamiento matemático real los números como $\pi$ o $2.6$ no son conjuntos o funciones, sino un tipo separado de cosas que solo se pueden utilizar de las formas explícitamente permitidas para los números reales. "Bajo el capó" se podría considerar que $\pi$ "realmente es" un cierto conjunto de funciones entre varios otros conjuntos, pero ese es un detalle de implementación que solo es relevante a nivel de teoría de conjuntos sin tipos.

(Por supuesto, las diversas similitudes entre las matemáticas y los lenguajes de programación de los que hablo aquí no son coincidencias. Surgieron del diseño de lenguajes de programación como intentos deliberados de crear notaciones formales legibles por máquina que se "vean y se sientan" lo más parecidas posible a la simbología matemática ordinaria. Las matemáticas tenian todas estas cosas primero; la informática simplemente fue la primera en necesitar _nombrar_las).

Answer 2

"Límite" es una función que toma como entrada, digamos, una función continua $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y un número real $a$ y produce $\lim_{x \to a} f(x)$. Lo único que podría incomodarte de esto es cuán "grande" es el dominio, pero los matemáticos hablan todo el tiempo sobre conjuntos de funciones y no hay problema con que esto esté bien definido. De hecho, es necesario hablar sobre conjuntos de funciones para hacer muchas cosas interesantes en matemáticas.

(Es una buena idea adjuntar tanto el dominio como el codominio de una función a los datos de la función. Así que cuando digo "una función" me refiero a un conjunto $C$, otro conjunto $D$, y (si lo prefieres) un subconjunto de $C \times D$ que cumple ciertos axiomas. El dominio es parte de los datos, así que no lo necesito como una entrada adicional.)

Editar: Veo que malinterpreté tu pregunta. Tu incomodidad real es sobre el infinito. Esto se maneja reemplazando $\mathbb{R}$ (tanto en el dominio como en el codominio) con la recta real extendida $\mathbb{R} \cup \{ \infty, -\infty \}$. Este es un espacio topológico perfectamente bien definido, y el lenguaje de la topología de conjuntos puntos te dice cómo lucen los límites en esta configuración.

Answer 3

Hay una gran manera de ver esto: un enfoque topológico.

Si desea una forma funcional de verlo, entonces la función límite tiene como valor un conjunto: el conjunto de todos los puntos límite. Entonces, la función tiene "un límite único" si ese conjunto es un conjunto con un solo elemento.

En otras palabras, dado una función $f$ y un punto $a$, podemos definir el "conjunto de límites" $\mathrm{setlim}_{x\to a} f(x)$. Decimos que $\lim_{x\to a} f(x) = y$ si $\mathrm{setlim}_{x\to a} f(x) = \{y\}$.

Observe que esto no nos obliga a añadir $+\infty$ y $-\infty$, pero podemos hacerlo. Agregar estos dos puntos es una forma de "compactificar" la recta real, haciendo que cada secuencia infinita de números reales tenga algún punto límite en algún lugar, lo que significa que, al menos si $a$ está en la clausura del dominio de $f$, entonces $\textrm{setlim}_{x\to a}$ siempre es no vacío.