¿Cuál es la diferencia entre los números naturales y los enteros positivos?

Question

Estaba leyendo conjuntos y llegué a algunas letras reservadas para algunos conjuntos. Dos de ellas realmente me confundieron. Ellas eran -

$\mathbb N$ : Para el conjunto de números naturales.

$\mathbb Z^+$ : Para el conjunto de todos los enteros positivos.

En mi opinión, ambos conjuntos contienen $\{1,2,3,\dots\}$ Entonces, ¿por qué se consideran diferentes?

Investigué un poco sobre este tema y encontré esto, pero no dice nada sobre la importancia de los dos conjuntos diferentes.

Answer 1

Debes tener en cuenta que algunos autores definen $\mathbb{N}$ incluyendo el cero. Esto no tiene mucha importancia en sí mismo, ya que las propiedades del conjunto se conservan: hay una biyección entre $\mathbb{N}$ con cero y $\mathbb{N}$ sin cero, ambos están bien ordenados, y así sucesivamente, efectivamente, no hemos hecho más que "renombrar" los elementos.

Solo cuando comenzamos a agregar estructura a estos elementos es que la distinción se vuelve importante. Por ejemplo, si definimos una suma $+: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, podríamos hacer que $0$ sea una identidad aditiva. Por lo tanto, cuando alguien escribe "$\mathbb{N}$" en ese escenario (la mayoría de los escenarios), entonces debe quedar claro cuál definición se pretende.

Ahora, si tomamos ambos para significar el conjunto $\{1, 2, 3, \cdots\}$, entonces si alguien escribe $\mathbb{N}$ o $\mathbb{Z}^+$ es irrelevante. Sin embargo, al usar $\mathbb{Z}^+$ se elimina la ambigüedad ya que $\mathbb{Z}^+$ definitivamente no incluye el cero, y no tendríamos que esforzarnos en definir $\mathbb{N}$.

Answer 2

Los enteros positivos son $\mathbb Z^+=\{1,2,3,\dots\}$, y siempre es así.

Los números naturales tienen diferentes definiciones dependiendo del libro, a veces los números naturales son simplemente los enteros positivos $\mathbb N=\mathbb Z^+$, pero otras veces los números naturales son en realidad los números no negativos $\mathbb N=\{0,1,2,\dots\}$.

Algunas personas también escriben $\mathbb N_0=\{0,1,2,\dots\},\mathbb Z^+=\{1,2,3,\dots\}$ y evitan completamente $\mathbb N$ debido a esta ambigüedad.

Si deseas ser completamente inequívoco, deberías usar las palabras enteros positivos y enteros no negativos para estos conjuntos.

Answer 3

En cuanto a la cuestión de si los números naturales deben incluir el cero o no, hay dos argumentos a favor de hacerlo que encuentro convincentes:

1) Al incluir el cero, los números naturales pueden usarse para indicar cardinalidades de todos los conjuntos finitos. Si no se incluye el cero, la cardinalidad del conjunto vacío falta.

2) Como señaló John Conway, ya tenemos una forma perfectamente buena de describir el conjunto $\{1, 2, 3, \ldots \}$, es decir, los enteros positivos. (JC argumentaba por qué no excluir el cero de los números naturales.)

Answer 4

Realmente, en matemáticas las personas son libres de definir las cosas como deseen. Para mí, la expresión "números naturales" es más natural cuando se los identifica y se los define equilibrándolos con los números de conteo, es decir, números que se utilizan para contar cosas (sustantivos contables). Una vez que se equipara la expresión "números naturales" con "números de conteo", es más 'natural' (juego de palabras) desechar el cero, a menos que, por supuesto, consideres la ausencia de algo como parte de tu sistema de conteo. Pero en ese caso, no me resulta satisfactorio porque, al considerar sustantivos contables, solo puedes tener una sensación de ausencia si primero tienes una sensación de presencia. Y cuando consideras lo que está presente, cuentas esos elementos usando {1,2,3,...}, NO {0,1,2,...}. Por lo tanto, instaría a todos los matemáticos, no solo a algunos de ellos, a que vivan y definan a N como = {1,2,3,...}.

Answer 5

Pienso que ambos son iguales. Porque el cero no está incluido en el conjunto de números naturales.