Métodos diferentes, respuestas diferentes.

Question

Si $\int_{\pi/2}^\theta\sin x\,dx=\sin2\theta$, entonces el valor de $\theta$ $0<\theta<\pi$, la satisfacción es
(a) $3\pi/2$
(b) $\pi/6$
(c) $5\pi/6$
(d) $\pi/2$

Método 1:

I aplicar la regla de Leibniz y distinguir ambos lados con respecto a los $\theta$. No hay ninguna opción parece ser correcta.

Método 2:

I integrar el lado izquierdo y llegar a una conclusión de la opción d).

¿Ahora qué método seguir?

Answer 1

El lado izquierdo y derecho no son la misma función, casualidad que se cruzan en un ángulo específico $\theta$. Por eso, no puede esperar tanto que el derivado de la misma, por lo que el método 1 no es correcto.

Answer 2

Método de $(2)$ es correcto, y como se encontró, la opción correcta es $(\text{d})$.

Método de $(1)$ es seriamente deficiente.

La ecuación dada no afirma que dos de las funciones de $\theta$ son idénticamente iguales. Más bien se pregunta por el valor de $\theta$ para que las dos funciones de $\theta$ son iguales.

Para dramatizar el error, supongamos que queremos un valor de $\theta$ $0 < \theta < \pi$ tal que $$\sin(\theta) = \frac{\theta}{2}$$ No tiene sentido diferenciar ambos lados. Si usted diferenciada de todos modos, ignorando el hecho de que la ecuación no afirma que el LHS y RHS son la misma función, se obtiene $$\cos(\theta) = \frac{1}{2}$$ rendimiento $\theta = \pi/3$, lo cual no satisface la ecuación original.

Answer 3

Descuidado la diferenciación es peligroso. Imagínese que usted está tratando de resolver

$$ 2\theta-1 = \theta$$

La obvia y única respuesta es $\theta = 1$. Si usted diferenciar, usted recibe $2 = 1$, lo que podría inducir a la falsa idea de que no hay solución.

Así que, vamos a ver de nuevo, sin demasiados cálculos, sólo suposiciones básicas. Curiosamente, la pregunta recurre a argumentos diferentes.

• (a) 3π/2 : ya es $\ge \pi$, descartado,
• (b) π/6: $\sin x > 0$$]0,\pi/2[$, e $0< π/6< \pi/2$, por lo tanto $∫^{π/6}_{π/2}\sin x dx <0$, descartado!
• (c) 5π/6: $\sin (5\pi/3) = $\sin ((6-1)\pi/3) = $\sin ((-1)\pi/3) $ es negativo. Pero $\sin x > 0$ $]\pi/2,\pi[$ , e $\pi/2< 5π/6< \pi$, por lo tanto $∫^{5π/6}_{π/2}\sin x dx >0$, descartado!
• (d) π/2: la única solución a la izquierda, y verificar con facilidad.

Answer 4

Usted reclamar el siguiente conjetura

Conjetura: si $f = g$,$f' = g'$.

Me puede dar un contra-ejemplo. Supongamos que fuera cierto. Podemos entonces vamos a $f = x^2$$g = 4$$f = g$. A continuación,$x = \pm 2$. Tomando la derivada de ambos lados tenemos que $f' = 2x$$g' = 0$. A continuación, $2x = 0$. Ahora tenemos que $x = 0$. Esto contradice lo que nos dijo que era antes, por lo tanto, hemos llegado a una contradicción, la hipótesis original era falsa, y la hipótesis es refutada.

En pocas palabras, se asume que la anterior conjetura sin justificación. El corrent versión es*:

Conjetura: si para todos los valores de $x$ tenemos que $f(x) = g(x)$ podemos concluir que $f'(x) = g'(x)$.

Creo que deberías asumir que, cosa que no sucede aquí como nos gustaría encontrar un conjunto discreto tal que $f = g$. Si la conjetura se procede, a continuación, su respuesta sería "todos los números reales, donde se definan las funciones".

*Otra versión, es decir que $f$ $g$ difieren por una constante; sin embargo, estamos asumiendo que ellos tienen puntos de la igualdad, de modo que es menos relevante aquí.