Alexis Olson mostró en su respuesta que los mapas de $x \star y = a x + b y$ $a,b \geq 0$ satisfacer los axiomas $0$$1$. Voy a demostrar que estos son los únicos.
Denotar por $m$ el mapa de $m : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$$m(x,y)= x\star y$. Luego Axioma $0$ es en realidad equivalente a la suma de $m$.
De hecho, la escritura $z=(x,y)$$z' = (x', y')$, Axioma $0$ da $m(z-z') = m(z)-m(z')$ todos los $z, z'$. En particular, $m(0) = m(0 - 0 ) = m(0) - m(0)=0$. Esto a su vez da $m(- z) = m(0 -z) = m(0) - m(z) = - m(z)$ todos los $z$. Por lo tanto llegamos a la conclusión de que para cualquier $z, z'$ tenemos $m(z+z') = m(z - (-z')) = m(z) - m(-z')) = m(z) + m(z')$. Por el contrario, la aditividad claramente implica el Axioma $0$.
Desde $m$ es aditivo, tenemos $m(x,y) = m(x,0) + m(0,y)$ todos los $x,y$. Por lo tanto $m$ puede ser escrita como una suma $m(x,y) = f(x) + g(y)$ donde $f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ son ambos aditivos.
Para probar la afirmación, debemos mostrar que $f$ $g$ $\mathbb{R}$- lineal. Suponiendo que el axioma de elección, existen aditivos mapas en $\mathbb{R}$ que no son $\mathbb{R}$-lineal, pero son altamente patológicas (véase aquí para una revisión de aditivo mapas en $\mathbb{R}$). Puedo reclamar que ese Axioma $1$ evita que esto suceda.
De hecho, un aditivo mapa en $\mathbb{R}$ que es no $\mathbb{R}$-lineal tiene la propiedad de que su gráfica es denso en $\mathbb{R}^2$ (una prueba es dada en la página de la Wikipedia). Sin embargo, una consecuencia inmediata del Axioma $1$ es que si $x \geq 0$$y \geq 0$$| x \star y | \leq x \star y$, y, en particular,$x \star y \geq 0$. Por lo tanto $f$ $g$ mapa de $[0,\infty)$ a sí mismo. Por lo tanto, sus gráficos no puede ser denso en $\mathbb{R}^2$, por lo que debe ser lineal. Llegamos a la conclusión de que $m$ está dado por $m(x,y) = a x + b y$ algunos $a,b \in \mathbb{R}$, y desde $f$ $g$ mapa de $[0,\infty)$ que sí debemos tener $a,b \geq 0$.
