La siguiente es una respuesta parcial basado en mi propia lectura en Kline del Pensamiento Matemático de la antigüedad hasta hoy y la de Jeff Miller sitio web en los primeros usos de los símbolos y palabras.
El desarrollo de los vectores y sus asociados cálculo tiene un lugar de enfrentamiento de la historia en el siglo xix. Parece que lo mejor es salir de la divergencia y teorema de sus amigos fuera de este, ya que la historia es bastante complicada como es.
Vectores y vectorial de pensamiento son un desarrollo tardío en el siglo. Para tener una idea de lo que la gente pensaba antes, un lugar razonable para buscar es que throughback, Verde del teorema, que se expresa como
$$ \int P \, dx + Q \, dy = \iint \left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dx \, dy. $$
Aquí $P$ $Q$ son sólo funciones de $x$$y$, sin relación entre ellos. Esta fórmula es bastante molesto, ya que es bastante difícil de recordar donde el signo menos se va. Pero esta es la forma en que la gente trabajó: usted puede mirar en el libro sobre el teorema de la divergencia he enlazado arriba para ver esto con más detalle.
Cómo sobre derivados, entonces? Lagrange se acredita con la forma de Taylor teorema en dos variables. Existen derivadas direccionales en esto? En realidad, no: es una función de dos variables, no un vector.
La primera "vectory" cosa que se produce es la de los cuaterniones, por Hamilton en la década de 1840 (que fueron escritos por Gauss y no publicada años atrás es tanto típicos y en realidad no es relevante, ya que de Gauss, obra inédita, rara vez se escapa en matemática común en la jerga de su vida, al menos). Este es el comienzo de un cambio hacia lo que se convierte en álgebra abstracta: este, Grassmann del trabajo, y poco después de Cayley y otros, empujar lejos de las cosas que tiene que estar basado en la realidad de las cosas que dependen de las reglas del símbolo-empujar. Resumen de vectores de espacios lo suficientemente tarde como que no vale la pena hablar aquí. Hormigón vectores en el Gibbs–Heaviside modelo también mucho más tarde, inicialmente como una rama de cuaterniones que toma el físicamente las partes útiles y elimina el resto. Hay un ensayo que describe el debate entre los emergentes vectorialists y quaternionists aquí.
Los cuaterniones tienen dos extrañas propiedades: en primer lugar, que no son conmutativas, y en segundo lugar que ellos necesitan cuatro números reales para describir a ellos, que era bastante desconcertante cuando antes todo lo vivido en tres dimensiones. Pero Hamilton también anota lo que es, sin duda, un vector operador,
$$ \nabla = \mathbf{i} \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{j} \frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{k} \frac{\partial}{\partial z} $$
(en realidad, Hamilton $\nabla$ es girado a punto de la izquierda, pero es demasiado complicado para hacerlo aquí). A continuación, $\nabla \mathbf{q}$ donde $\mathbf{q}$ es una cuádrupla, da como la "escalar la parte" a la cantidad que pasa a ser el negativo de la divergencia (Maxwell le llaman la convergencia) y como el "vector parte" de la curvatura (como se ve en esta página de la ciudad de Hamilton Conferencias sobre Cuaterniones), por lo que esta $\nabla$ es en un sentido el único operador que usted necesita. En la página siguiente se analiza la acción de la $\nabla$ en una función escalar (temperatura, o potencial gravitatoria) como describir el vector de flujo de calor, o la fuerza gravitacional que actúa): en el caso de una función genérica, un vector normal. Así que esta es sin duda una razonable candidato para la primera discusión de un vector gradiente (parece que nadie aún ha tenido los medios para escribir este operador como un objeto en su propio derecho antes de Hamilton), aunque el término gradiente se usa por primera vez mucho más tarde.
Ahora, la derivada direccional. Hamilton no se conecta a la dirección de las derivadas a $\nabla$ (debería ser obvio por qué: falta el escalares parte de los cuaterniones), en lugar de describir todo por series de Taylor en términos de diferenciales (ver esta página y la siguiente). El anticommutativity previene la producción de un vector gradiente, desde la $dq$s aparecen intercaladas en las expresiones. Esta es una desventaja de la quaternionic enfoque. Si desea llamar a esto una derivada direccional, que es el final de la misma. El real de la frase aparece en Una Breve Tabla de Integrales por B. O. Pierce, acompañado por una moderna interpretación geométrica, pero está claro que el concepto es algo más, en una forma u otra. Pero creo que la idea de una derivada direccional utilizando un vector real por lo tanto tiene que ser menor que $\nabla$, ya que Hamilton es el primero en publicar nada el tratamiento de un multi-dimensional del objeto como una cosa, en lugar de un montón de componentes. Es una cuestión de opinión, en lugar de la absoluta realidad, sin embargo.
