Ceba donde $(p-1) ^ 2 + 1$ y $(p+1) ^ 2 + 1$ también son excelentes

Question

Estoy siguiendo un curso de matemáticas sobre los conceptos básicos de la teoría de números. El curso contiene un Abierto de los Problemas de la sección con la Landau de la conjetura, que establece que: "Existen infinitos números primos de la forma $n^2 + 1$.". Los ejemplos incluyen:
$2 = 1^2 + 1$
$5 = 2^2 + 1$
$17 = 4^2 + 1$
$37 = 6^2 + 1$

Me di cuenta de que n en estos ejemplos son primos menos uno. Así que he hecho un programa que busca la primera x primos si $(p-1) ^ 2 + 1$ es también el primer. Este rendimientos de los números primos:
$2, 3, 5, 7, 11, 17, 37, 41, 67, 127, 131, 151, 157, ..$

También miré $(p+1) ^ 2 + 1$, lo que se obtiene:
$3, 5, 13, 19, 23, 53, 73, 83, 89, 109, 149, 179, 223, ..$

Tanto la fórmula parece que el rendimiento de los números en la misma proporción. Sin embargo, lo que me parece extraño es la intersección de los conjuntos. Si busco los números primos, donde tanto la $(p-1) ^ 2 + 1$ $(p+1) ^ 2 + 1$ también son excelentes, sólo 3 y 5 parecen suficientes. A partir de allí los conjuntos parecen ir separados de sus formas. Ahora me gustaría alguna idea de por qué es esto, pero no puedo encontrar la fórmula de arriba o de los conjuntos mediante búsquedas. Con mi equipo me trató de la primera de 50 millones de números primos, pero sólo 3 y 5 parecen tener estas propiedades. Lo que estoy viendo aquí? Hay otros números primos conocidos que cumplen con estas propiedades?

Answer 1

If $p \equiv 1$ or $2$ mod $5$, $(p+1)^2 + 1 \equiv 0 \mod 5$. If $p \equiv 3$ or $4$ mod $5$, $(p-1)^2 + 1 \equiv 0 \mod 5$.

Answer 2

¿Has pensado acerca de la comparación de $(p - 1)^2 + 1$ $(p + 1)^2 + 1$en sólo un par de valores de $p$ y ver qué pasa?

• $p = 2$ nos da $(p - 1)^2 + 1 = 2$$(p + 1)^2 + 1 = 10 = 2 \times 5$.
• $p = 3$ nos da $(p - 1)^2 + 1 = 5$$(p + 1)^2 + 1 = 17$.
• $p = 5$ nos da $(p - 1)^2 + 1 = 17$$(p + 1)^2 + 1 = 37$.
• $p = 7$ nos da $(p - 1)^2 + 1 = 37$$(p + 1)^2 + 1 = 65 = 5 \times 13$.
• $p = 11$ nos da $(p - 1)^2 + 1 = 101$$(p + 1)^2 + 1 = 145 = 5 \times 29$.
• $p = 13$ nos da $(p - 1)^2 + 1 = 145 = 5 \times 29$$(p + 1)^2 + 1 = 197$.
• $p = 17$ nos da $(p - 1)^2 + 1 = 257$$(p + 1)^2 + 1 = 325 = 5^2 \times 13$.
• $p = 19$ nos da $(p - 1)^2 + 1 = 325 = 5^2 \times 13$$(p + 1)^2 + 1 = 401$.

Esto sugiere que uno de $(p - 1)^2 + 1$ o $(p + 1)^2 + 1$ es primo y el otro es un múltiplo de a $5$ (aunque, por supuesto, también es posible que ambos valores no ceder el paso a un primo, por ejemplo, $p = 29$). Esperemos que esto le permite hacer sentido de Robert repletas de respuesta.