Si un conjunto es abierto, sus "rodajas" también lo son. ¿Conversar?

Question

Supongamos que $X$ y $Y$ son espacios topológicos y $U \subseteq X \times Y$ .
Ahora, me las arreglé para probar que siempre $U$ es abrir todos los "trozos" a lo largo de $Y$ también están abiertos:

\begin{equation} U \; \text{is open} \implies \forall \, x \in X : \left \{ y \in Y : \left( x, y \right) \in U \right \} \; \text{is open} \end{equation}

Obviamente, lo mismo se aplica a las rodajas a lo largo de $X$ .

¿Se puede decir lo contrario? Es decir, supongamos que para un conjunto dado $U \subseteq X \times Y$ todas las rebanadas a lo largo de $X$ y $Y$ están abiertos, podemos concluir que $U$ ¿está abierto?
Mi instinto me dice que necesitamos algo como la Hausdorffidad para asegurar que tenemos conjuntos abiertos suficientemente "pequeños", pero no consigo demostrarlo (o refutarlo).

Mi idea hasta ahora es bastante simple. Si $U$ está vacío, entonces todo está bien, así que supongamos que hay un elemento $\left( x, y \right) \in U$ .
A continuación, podemos observar los filtros de vecindad $\mathcal{F}_x$ y $\mathcal{F}_y$ de $x$ y $y$ respectivamente. Entonces la afirmación es equivalente a la existencia de algún $A \in \mathcal{F}_x$ , $B \in \mathcal{F}_y$ tal que

\begin{equation} A \times B \subseteq U \end{equation}

Esto me parece imposible de probar sin más suposiciones... ¿Qué supuestos son necesarios y suficientes? Me viene a la mente la topología uniforme, ya que asegura cierta simetría entre la apertura en $X$ y $Y$ direcciones.

Answer 1

Esto es casi siempre falso. Para poner esto en un contexto quizás más familiar, observe que la colección de todos los conjuntos $U\subseteq X\times Y$ cuyos cortes son abiertos es una topología; llámala $T$ . Ahora, observe que un mapa $f:X\times Y\to Z$ es continua con respecto a $T$ si es continua en cada coordenada por separado: es decir, si para cada $x\in X$ , $y\mapsto f(x,y)$ es continua, y para cada $y\in Y$ , $x\mapsto f(x,y)$ es continua. Así que tu pregunta es equivalente a preguntar si cada función continua por separado sobre un producto es realmente continua conjuntamente (es decir, continua con respecto a la topología del producto).

Como aprenden los estudiantes de cálculo multivariable, esto es falso incluso en los contextos más familiares. Por ejemplo, al tomar $X=Y=Z=\mathbb{R}$ la función $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ para $(x,y)\neq (0,0)$ y $f(0,0)=0$ es continua en cada variable por separado pero no es continua conjuntamente en $(0,0)$ . Para obtener un contraejemplo directo a su pregunta, puede tomar $U=f^{-1}(\mathbb{R}\setminus\{1/2\})\subset\mathbb{R}^2$ . Este conjunto tiene cortes abiertos, pero no es abierto en la topología del producto (contiene $(0,0)$ pero no contiene ninguna bola alrededor $(0,0)$ desde $f(a,a)=1/2$ para cualquier $a\neq 0$ ). De forma aún más explícita, este conjunto $U$ es el complemento del conjunto $\{(a,a):a\neq0\}$ que se puede comprobar fácilmente que tiene rodajas cerradas pero no está cerrada